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课件网) 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 极大值与极小值 探究点一 函数极值概念的理解 探究点二 求函数的极值 探究点三 已知函数极值（点）求参数的 值或取值范围 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件,极大值、 极小值与导数的关系. 2.会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数不超过三 次）. 知识点一 函数极值的定义 1.极大值与极大值点： 一般地，若存在，函数 在 内有定义，且当, 时，都有 ___，则称为函数的一个极大值， 称为函数 的极大值点. 2.极小值与极小值点： 一般地，若存在，函数 在 内有定义，且当, 时，都有 ___，则称为函数的一个极小值， 称为函数 的极小值点. 函数的极大值、极小值统称为函数的极值，极大值点、极小值点统 称为极值点. 知识点二 求函数极值的步骤 一般地,可按如下方法求函数 的极值: 解方程,当 时: （1）如果在附近的左侧,右侧,那么 是极 ____值; 大 （2）如果在附近的左侧,右侧,那么 是极 ____值. 可将变化时,, 的变化情况列成如下表格: 0 - 单调递增 极大值 单调递减 - 0 单调递减 极小值 单调递增 小 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数的极小值点就是函数图象上相对最低的点.( ) × （2）一个函数的极大值一定大于极小值.( ) × （3）一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值. ( ) × 2.已知可导，那么是 为极值点的什么条件？ 解：是为极值点的必要且不充分条件. 如 ，满足，但0不是极值点． 另外，为可导函数 的极值点 ． 探究点一 函数极值概念的理解 例1（1）函数的定义域为开区间,导函数在 内的 图象如图所示,则函数在开区间 内的极大值点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 √ [解析] 依题意,记函数的图象与 轴的交点 的横坐标从小到大依次为,,, . 当时,;当 时, ;当时,;当时, ;当 时, . 所以为极小值点,为极大值点, 为极小值点,故函数在开区间 内的极大值点有1个.故选A. （2）设函数在上可导,其导函数为,且函数 的图 象如图所示,则下列说法中正确的是( ) A.函数有极大值和极小值 B.函数有极大值和极小值 C.函数有极大值和极小值 D.函数有极大值和极小值 √ [解析] 由题图可知,当时, ;当 时,;当 时, ;当时,. 所以函数 在处取得极大值,在 处取得极小值,即函数有极大值和极 小值 . 故选D. 变式 已知是函数的导函数,函数 的图象如图所示, 则 的极大值点为( ) A. B. C. D. √ [解析] 由题中图可知,当时, ,所 以;当时,,所以 ; 当时,,所以 ;当 时,,所以. 所以 的 增区间为和,减区间为.故 的 极大值点为 .故选A. ［素养小结］ 解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数的还是导函数的.对于 导函数的图象,重点考查在哪个区间上为正,在哪个区间上为负,在哪个 点处与
轴相交,在该点附近的导数值是如何变化的.若是由正值变为 负值,则原函数在该点处取得极大值,若是由负值变为正值,则原函数在 该点处取得极小值. 探究点二 求函数的极值 角度1 求不含参数函数的极值 例2 求下列函数的极值： （1） ； 解：因为 ， 所以 ． 令，得，. 当变化时， 与 的变化情况如表： 0 3 - 0 - 0 不是极值 极小值 故当时函数取得极小值，极小值为 ,无极大值. （2） . 解：函数的定义域为，且 . 令，得 . 当变化时，与 的变化情况如表： 0 - 极大值 故当时函数取得极大值，极大值为 ，无极小值. 变式 ［2025·江苏靖江中学高二月考］ 已知函数 ，则 下列结论正确的是( ) A.在处取得极大值 B.在处取得极大值 C.在处取得极小值 D.在处取得极小值 √ [解析] 由题意得，且 ， 所以当时 ... ...
