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课件网) 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.3 最大值与最小值 第2课时 函数最大值与最小值的应用 探究点一 面积、体积的最值问题 探究点二 用料最省、费用最少问题 探究点三 利润最大、效率最高问题 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 会运用函数在某闭区间上的最值来解决实际问题中的最值问题． 知识点 导数的实际应用 1.导数在实际生活中有着广泛的应用.用料最省、利润最大、效率最 高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决. 2.用导数解决实际生活问题的基本思路 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）优化问题就是实际生活中给定条件求最大值或最小值的问 题．( ) √ （2）生活中的优化问题都必须利用导数解决．( ) × （3）生活中的优化问题中若函数只有一个极值点则它就是最值 点．( ) × （4）方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为4.( ) √ 探究点一 面积、体积的最值问题 例1 ［2025·江苏靖江中学高二质检］一个等腰三 角形的周长为10，四个这样的等腰三角形的底边 围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋 转，使这四个顶点重合在一起，构成一个正四棱 锥，则该正四棱锥的体积的最大值为( ) A. B. C. D. √ [解析] 正四棱锥如图，设底面正方形边长的一 半为 ，则正四棱锥的高 ， 所以正四棱锥的体积 ． 设，则 ， 由，解得（舍）或（舍）或． 所以当时，,单调递增，单调递增； 当 时，，单调递减，单调递减. 则当 时,取得最大值，最大值为． 故选A. 变式 ［2025·山东临沂一中高二月考］有一个帐篷，它的下部是高 为的正六棱柱，上部是侧棱长为 的正六棱锥 （如图所示）．当帐篷的顶点到底面中心的距离为___ 时，该 帐篷的体积最大． 2 [解析] 设，其中 ，底面正六边形的面积为，帐 篷的体积为 .则由题意可得正六棱锥底面的边长为 ， 于是底面正六边形的面积 ． 帐篷的体积 ，则． 令，解得 或（不合题意，舍去）．所以当时， ；当时，. 所以当时， 最大． ［素养小结］ 解决面积、体积最值问题的一般思路是正确引入变量，将面积或体 积表示为变量的函数，再结合实际问题的意义，利用导数求解函数 的最值. 探究点二 用料最省、费用最少问题 例2 ［2025·湖北郧阳一中高二月考］为了在夏季降温和冬季供暖时 减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要 建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该 建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度 单位：之间满足关系： ，若不建隔热 层，每年能源消耗费用为8万元，设 为隔热层建造费用与20年的 能源消耗费用之和（单位：万元）． （1）求的值及 的表达式； 解：由，得，则，所以 . 则 ． （2）隔热层修建多厚时，总费用 取得最小值，并求最小值． 解：由（1）知 ， 令，得 ， 解得或 （舍去）． 可得当时， ， 当时， ， 故是 的最小值点，对应的最小值为 . 所以当隔热层修建 厚时，总费用取得最小值70万元． 变式 如图所示，位于点处的甲村与位于 点处的乙村合用一个变 压器，若两村用同型号电线架设输电线路，问变压器设在输电干线 何处时，所需电线总长最短？ 解：设，其中 ，则 ， 则所需电线总长 单位： 为 可得 .令，则 ， 解得或 （舍去）. 因为在区间上满足 的点只有 ，所以根据实际意义， 知 就是我们所求的最小值点，即变压器设在，之间到点 的距离为 处时，所需电线总长最短. ， ［素养小结］ 利用导数求解优化问题，往往归结为函数的最大值或最小值问题， 解题中要特别注意以下几点： （1）当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它 ... ...
