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课件网) 6.3 空间向量的应用 6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量 探究点一 求直线的方向向量 探究点二 求平面的法向量 探究点三 平面法向量的应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.联系空间向量与立体几何,知道直线的方向向量和平面的法向量. 2.结合空间几何体,能求出有关直线的方向向量和平面的法向量. 3.在空间点的向量表示的基础上,能借助直线的方向向量和平面 的法向量来刻画直线和平面. 知识点一 直线的方向向量 把直线上的向量以及_____的非零向量叫作直线 的方 向向量. 与共线 注意：（1）空间中，一个向量成为直线 的方向向量，必须具备以 下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与 平行或重合. （2）与直线平行的任意非零向量都是直线的方向向量，且直线 的方向向量有无数个. 知识点二 平面的法向量 1.定义：如果表示非零向量的有向线段所在直线垂直于平面 ,那 么称向量垂直于平面 ,记作_____.此时，我们把向量 叫作平面 的法向量. 注意：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的 一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面 的一个法向量. 2.求平面法向量的方法 （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该 垂线的一个方向向量即得平面的法向量. （2）几何体中没有具体的直线与平面垂直，一般要建立空间直角坐 标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： 设出平面的法向量为 ； 找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标 ， ； 根据法向量的定义建立关于，，的方程组 解方程组，取其中的一个解，即得法向量.由于一个平面的法向 量有无数个，故可在代入方程组的解时取一个最简单的作为平面的 法向量. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若向量是直线的一个方向向量,则向量也是直线 的一个方 向向量.( ) × [解析] 当时,不是直线 的方向向量,故错误. （2）若,在直线上,则直线 的一个方向向量为 .( ) √ [解析] , 与共线的非零向量都可以作为直线 的 方向向量,故正确. （3）若向量, 为同一平面的法向量,则以这两个向量为方向向量 的直线一定平行.( ) × [解析] 以这两个向量为方向向量的直线也可能重合,故错误. 探究点一 求直线的方向向量 例1 如图，在长方体 中， ，， ，建立恰当的空间直角 坐标系，分别写出直线与 的一个方向向量. 解：以，， }为正交基底，建立空间 直角坐标系 ，如图， 则，，， ， , , 直线与 的一个方向向量分别为 , . 变式（1）若直线过点,,则直线 的方向向量可以是 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题可知， .故选D. √ （2）已知直线的一个方向向量为,且直线 过点 和点,则 ( ) A.0 B.1 C. D.3 √ [解析] 连接,由题意得, 因为直线过点 和点,且直线的一个方向向量为, 所以 ,所以存在实数 ,使得, 即 ,即 解得所以 .故选D. ［素养小结］ 求直线的方向向量的关键是找到直线上的两个点,用所给的基向量表 示以这两个点为起点和终点的向量,其难点是向量的运算. 探究点二 求平面的法向量 例2 如图，在四棱锥中，底面为 矩形， 平面，为的中点， ， ，试建立恰当的空 间直角坐标系，回答下列问题. （1）写出平面 的一个法向量； 解：因为 平面，底面为矩形，所以，， 两两垂直. 如图所示，以，， }为正交基底，建立空间 直角坐标系，则， ， ，， ，所以 ， . 设平面的法向量为 ， 则即所以 令，则，，即 ， 所以平面的一个法向量为 . 例2 如图，在四棱锥中，底面 为矩形， 平面，为 的中点， ， ，试建立恰当的空间直 角坐标系，回答下列问题. （2）写出直线的一个方向向量和平面 的一个法 ... ...
