第6章 本章总结提升（课件 学案）高中数学苏教版（2019）选择性必修第二册

本章总结提升 【素养提升】 题型一 例1　证明:由题意易知DA,DP,DC两两垂直.以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.设DA=1. (1)依题意有D(0,0,0),Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0), 则=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0),所以·=1×1+1×(-1)+0=0,·=0×1+0×(-1)+1×0=0,即PQ⊥QD,PQ⊥DC,又DQ∩DC=D,DQ,DC 平面DCQ,所以PQ⊥平面DCQ. 又PQ 平面PQB,所以平面PQB⊥平面DCQ. (2)根据题意,有A(1,0,0),B(1,0,1), 则=(1,0,0),=(0,0,1),=(0,1,0), 故·=0,·=0, 又,不共线,所以为平面BAQ的一个法向量. 又=(0,-2,1),且·=0,所以⊥, 又PC 平面BAQ,所以PC∥平面BAQ. 变式　解:(1)证明:以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz, 则A(0,0,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(2,2,2),D1(0,2,2),E(2,1,0), 可得=(2,0,2),=(0,2,0),=(2,1,-2), 于是·=2×0+0×2+2×0=0,·=2×2+0×1+2×(-2)=0,即AB1⊥A1D1,AB1⊥A1E, 又A1D1∩A1E=A1,A1D1,A1E 平面A1ED1, 所以AB1⊥平面A1ED1. (2)由(1)知=(2,2,0),=(0,1,2), 设平面A1EC1的法向量为n=(x,y,z), 则取z=1,则x=2,y=-2,得n=(2,-2,1), 假设存在点F,使直线D1F∥平面A1EC1,设点F的坐标为(t,2,0),0≤t≤2, 则=(-t,0,2),由题意需满足⊥n,得n·=-2t+2=0,解得t=1, 所以存在点F,使直线D1F∥平面A1EC1,此时DF=1. 题型二 例2　D　[解析] 方法一:如图,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则P(1,1,2),B(2,2,0),A(2,0,0),D1(0,0,2),所以=(-2,0,2),=(1,1,-2),所以cos<,>==-=-,又直线PB与AD1所成的角为锐角,所以直线PB与AD1所成的角为,故选D. 方法二:如图,连接BC1,易知AD1∥BC1,所以AD1与PB所成的角即为BC1与PB所成的角.连接A1B,A1C1,易知△A1BC1为等边三角形,且P为A1C1的中点,故∠PBC1=,所以直线PB与AD1所成的角为,故选D. 例3　解:(1)证明:在△AEF中,AE=AD=2,AF=AB=4,∠EAF=30°,∴cos∠EAF===,∴EF=2. ∵EF2+AE2=AF2,∴AE⊥EF,得PE⊥EF,DE⊥EF, 又PE∩DE=E,PE,DE 平面PDE,∴EF⊥平面PDE, 又∵PD 平面PDE,∴EF⊥PD. (2)连接CE,∵DE=5-2=3,CD=3,∠CDE=90°,∴CE2=36,得CE=6. 又PE=AE=2,PC=4, ∴PE2+CE2=PC2, ∴PE⊥CE. 又PE⊥EF,EF∩CE=E,EF,CE 平面DEC, ∴PE⊥平面DEC,∴PE⊥ED,即EF,ED,EP两两垂直. 以E为原点,EF,ED,EP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则P(0,0,2),D(0,3,0),F(2,0,0),A(0,-2,0),C(3,3,0),由F为AB的中点,得B(4,2,0),得=(0,3,-2),=(-3,0,0),=(4,2,-2),=(-2,-2,0). 设平面PCD的法向量为n1=(x1,y1,z1),则 ∴令y1=2,则n1=(0,2,3). 设平面PBF的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则∴ 令x2=,则n2=(,-1,1). 设平面PCD与平面PBF所成的二面角为α, ∵cos==, ∴sin α==. 变式　解:(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,AD 平面ABCD, ∴PA⊥AD. 又∵AD⊥PB,PB∩PA=P,PB,PA 平面PAB, ∴AD⊥平面PAB,∵AB 平面PAB,∴AD⊥AB. 在△ABC中,AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC. ∵A,B,C,D四点共面,∴AD∥BC, 又∵BC 平面PBC,AD 平面PBC, ∴AD∥平面PBC. (2)方法一:以D为原点,以DA,DC所在直线分别为x,y轴,以过点D且与平面ABCD垂直的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设AD=t(0|==,可得t=,∴AD=. 方法二:如图所示,过点D作DE⊥AC于E,过点E作EF⊥CP于F,连接DF. ∵PA⊥平面ABCD,PA 平面PAC, ∴平面PAC⊥平面ABCD, 又平面PAC∩平面ABCD=AC,DE⊥AC,∴DE⊥平面PAC. 又CP 平面PAC,∴DE⊥CP ... ...