滚动习题(二) 1.A [解析] ∵a=(1,y,2),b=(-1,1,1),且a⊥b,∴a·b=-1+y+2=0,解得y=-1.故选A. 2.D [解析] 因为点A(3,2,0),B(6,1,-2),C(5,-1,1),所以=(3,-1,-2),=(2,-3,1),所以||=,||=,所以cos∠BAC===,因为0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°,所以S△ABC=||·||·sin∠BAC=,所以以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为2S△ABC=7,故选D. 3.A [解析] ∵直线l的一个方向向量为a=(1,2,-1),平面α的一个法向量为m=(-2,-4,k),l⊥α,∴a∥m,∴==,解得k=2.故选A. 4.C [解析] 因为P,A,B,C四点共面,所以,,共面,设=x+y,因为=(2,1,-3),=(-1,2,3),=(λ,6,-9),所以=x+y=(2x-y,x+2y,-3x+3y)=(λ,6,-9),则解得故选C. 5.C [解析] 由题可知D(,0,0),B(0,,0),E(0,0,1),A(,,0),所以=(,-,0),=(-,0,1),设平面BDE的法向量为n=(a,b,c),则令a=1,则b=1,c=,可得n=(1,1,).设点M的坐标为(x,x,1),则=(x-,x-,1),因为AM∥平面BDE,所以·n=0,即x-+x-+=0,解得x=,所以点M的坐标为.故选C. 6.D [解析] 以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则F,C1(0,1,1),A(1,0,0),B1(1,1,1),E,∴=,=,=(0,1,1),=(-1,1,1),∴∥,即AE∥FC1,∵AE 平面AB1E,FC1 平面AB1E,∴FC1∥平面AB1E,∴直线FC1到平面AB1E的距离即为点C1到平面AB1E的距离.设平面AB1E的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则z=2,y=-2,∴n=(1,-2,2),∴点C1到平面AB1E的距离为==.故选D. 7.BC [解析] 空间中三个向量a=(1,2,0),b=(-1,2,1),c=(-1,-2,1),对于A,因为=≠,所以a,c不共线,A错误;对于B,因为|a|==,所以与a同向的单位向量是==,B正确;对于C,c在a上的投影向量是|c|cos
·=·a,因为a·c=1×(-1)+2×(-2)+0=-5,所以c在a上的投影向量是(1,2,0)=(-1,-2,0),C正确;对于D,因为a·b=-1+4+0=3≠0,所以a,b不垂直,D错误.故选BC. 8.ABD [解析] 对于A,如图①,连接B1D1,BD.∵A1C1⊥B1D1,A1C1⊥BB1,B1D1∩BB1=B1,且B1D1,BB1 平面BB1D1D,∴A1C1⊥平面BB1D1D,又BD1 平面BB1D1D,∴A1C1⊥BD1.同理可得DC1⊥BD1.∵A1C1∩DC1=C1,且A1C1,DC1 平面A1C1D,∴直线BD1⊥平面A1C1D,故A正确.对于B,∵A1B1∥AB∥DC,且A1B1=DC,∴四边形A1B1CD是平行四边形,∴A1D∥B1C.又A1D 平面A1C1D,B1C 平面A1C1D,∴B1C∥平面A1C1D.∵点P在线段B1C上运动,∴P到平面A1C1D的距离,即点B1到平面A1C1D的距离,其为定值.又△A1C1D的面积是定值,∴三棱锥P-A1C1D的体积为定值,故B正确.设正方体的棱长为1,以{,,}为单位正交基底,建立如图②所示的空间直角坐标系D-xyz.∵点P在线段B1C上运动,∴可设P(a,1,a),0≤a≤1,则D(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),B(1,1,0),D1(0,0,1).对于C,=(a-1,1,a),=(-1,0,-1),∴cos<,>===,==1-,∵a∈[0,1],∴a2-a+1=+∈,1-∈,∴|cos<,>|∈.∵异面直线AP与A1D所成的角为锐角或直角,∴AP与A1D所成的角的取值范围为,故C错误.对于D,=(a,0,a-1),=(1,1,-1),由A可知=(1,1,-1)是平面A1C1D的一个法向量,∴直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为|cos<,>|===,∴当a=时,直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值最大,最大值为,故D正确.故选ABD. 9. [解析] 因为=(2,1,2),所以||==3,所以点C(1,3,5)到直线AB的距离d===. 10.(1,2,0)(答案不唯一,x+y+z=3且x,y,z不全相等均可) [解析] 由点A(-1,1,0),B(1,3,2),可得=(2,2,2),又向量a=(x,y,z)在上的投影向量为(1,1,1),∴·=·(2,2,2)=(2,2,2)=(1,1,1),则=1,即x+y+z=3,又∵向量与向量a不共线,∴==不成立,则可令x=1,y=2,z=0,即a=(1,2,0). 11.2a-b=3 [解析] 由题知,是平面α的法向量,由u(x-x0)+v(y-y0)+w(z-z0)=0,可得ux+vy+wz-(ux0+vy0+wz0)=0,因为此平面的法向量为(u,v,w),所以平面α:x+2y+2z-3=0的法向量为n=(1,2,2).因为l⊥α,P,M在l上,所以∥n,又=(a-2,b-1,c-3),所以==,整理得2a-b=3.在平面α:x+2y+2z-3= ... ... 