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课件网) 7.3 组 合 第2课时 组合数的性质及应用 探究点一 组合数的性质 探究点二 有限制条件的组合问题 探究点三 分组、分配问题 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明. 2.能解决有限制条件的组合问题. 知识点 组合数的性质 性质,，且 . 注意：规定 . 提示：（1）体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想； （2）等号两边下标相同，上标之和等于下标. 性质,，且 . 提示：（1）下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原 下标多1而上标与大的上标相同的一个组合数； （2）体现了“含”与“不含”的分类思想. 探究点一 组合数的性质 例1（1）若，则 ( ) A.2 B.4 C.2或4 D.2或3 [解析] 由题意可得或，解得或 . 故选D. √ （2）［2025·江苏海门高二期中］ ( ) A. B. C. D. [解析] .故选B. √ 变式（1）［2024·江苏南京高二期末］若，则 ( ) A.2 B.8 C.2或8 D.2或4 [解析] 由组合数的性质可得 ， 得，. 又，所以 或， 解得或 （舍去）.故选A. √ （2） _____. 466 [解析] ，, , . （3）若，则 的值是___. 6 [解析] ，，解得 . ［素养小结］ 性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明.应用时要 注意公式的正用和逆用，正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是 “合二为一”,在解题中要注意灵活应用. 探究点二 有限制条件的组合问题 考向1 “含有”与“至少”问题 例2 已知有男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.现选派 5人外出比赛,按下列要求分别有多少种选法 （1）男运动员3名,女运动员2名; 解：第一步:选3名男运动员,有 种选法. 第二步:选2名女运动员,有种选法. 故共有 （种）选法. 例2 已知有男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.现选派 5人外出比赛,按下列要求分别有多少种选法 （2）至少有1名女运动员; 解：方法一（直接法）:至少有1名女运动员包括以下几种情况:1女4 男,2女3男,3女2男,4女1男，共有 （种）选法. 方法二（间接法）:“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”, 从10人中任选5人有种选法,其中全是男运动员的选法有 种,所以 至少有1名女运动员的选法有 （种）. 例2 已知有男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.现选派 5人外出比赛,按下列要求分别有多少种选法 （3）至少有1名队长; 解：方法一（直接法）:可分类求解.只有男队长的选法有 种，只有 女队长的选法有种，男、女队长都有的选法有 种，所以至少有1 名队长的选法共有 （种）. 方法二（间接法）:从10人中任选5人有 种选法,其中不选队长的选 法有种,所以至少有1名队长的选法有 （种）. 例2 已知有男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.现选派 5人外出比赛,按下列要求分别有多少种选法 （4）既有队长,又有女运动员. 解：当选女队长时,其他人任意选,有 种选法; 当不选女队长时,必选男队长,从其他人中任选4人有 种选法,其中不 含女运动员的选法有种,所以不选女队长时的选法共有 种. 所以既有队长,又有女运动员的选法共有 （种）. 变式 某旅行团要从八个景点中选两个作为当天的旅游地，满足下列 条件的选法分别有多少种？ （1）甲、乙两个景点至少选一个； 解：甲、乙两个景点都不去有 种选法，则甲、乙两个景点至少选 一个的选法有 （种）. （2）甲、乙两个景点至多选一个； 解：甲、乙两个景点都不去有 （种）选法，甲、乙两个景点 只去一个有 （种）选法， 则甲、乙两个景点至多选一个有 （种）选法. 变式 某旅行团要从八个景点中选两个作为当天的旅游地，满足下列 条件的选法分别有多少种？ （3）甲、乙两个景点必须选一个且只 ... ...
