3.3.1 空间向量基本定理 课件(共16张PPT)

数学北师大版 高二上 3.3.1 空间向量基本定理 在平面内，任意给定两个不共线的向量????，????，根据平面向量基本定理，对于该平面内的任意一个向量????，存在唯一的有序实数对????，????，使得????=????????+????????．特别地，当????，????为直角坐标平面内的向量时，向量????就与坐标????，????建立了一一对应关系，从而将向量运算用坐标表示，简化了向量运算，为研究问题带来了极大的方便． ? 如果????1，????2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量????，存在唯一的一对实数????1，????2，使????=????1????1+????2????2． 若????1，????2不共线，我们把????1，????2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． ? 如图，过点????作????????=????，????????=????，????????=????，因为向量????，????，????不共面，所以????，????，????，????四点不共面． 作????????=????． 当点????不在直线????????上时， 过点????作与????????平行的直线交平面????????????于点????，则????????//????????，故存在实数????，使得????????=????????????=????????． ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 在平面????????????内，由平面向量基本定理可知：存在唯一的有序实数对????，????，使得????????=????????????+????????????=????????+????????． ∴存在唯一的三元有序实数组????，????，????，使得????=????????=????????+????????=????????+????????+????????． ? 如图，过点????作????????=????，????????=????，????????=????，因为向量????，????，????不共面，所以????，????，????，????四点不共面． 作????????=????． 当点????不在直线????????上时， 过点????作与????????平行的直线交平面????????????于点????，则????????//????????，故存在实数????，使得????????=????????????=????????． ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 我们也可以进一步将图形补成一个长方体，将????倍的向量????平移至以????为起点，则三个分向量分别对应从同一个顶点????出发的长方体的三条棱，向量????对应这个长方体从顶点????出发的一条体对角线． ? 从而也存在唯一的三元有序实数组????，????，????=0，0，????，使得????=????????+????????+????????． ? 假设还有另一个三元有序实数组????′，????′，????′也满足????=????′????+????′????+????′????，则 ????=?????????′????+?????????′????+?????????′????． 不妨设????≠????′，则 ????=??????????′?????????′??????????????′?????????′????． ? 也就是说，向量????可以被向量????，????线性表示，不难得出，此时，向量????应该与向量????，????共面，这与????，????，????是空间三个不共面的向量矛盾．因此，????=????′，????=????′，????=????′． 因此，空间向量基本定理中三元有序实数组具有唯一性． ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 空间向量基本定理 如果向量????，????，????是空间三个不共面的向量，????是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组????，????，????，使得????=????????+????????+????????． ? 如果向量????，????，????是空间三个不共面向量，那么所有的空间向量组成的集合就是????????=????????+????????+????????，????，????，????∈????， 这个集合可以看成是由向量????，????，????生成的，这时????，????，????叫作空间的一组基，其中????，????，????都叫作基向量． ? 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基． 如果向量中存在零向量，则不能作为基； 如果存在一个向量可以 ... ...