1．3 向量的数乘 最新课程标准 1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则，理解其几何意义． 2．理解两个平面向量共线的含义． 3．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 学科核心素养 1.掌握平面向量的数乘运算．(数学运算) 2．理解共线向量的含义．(直观想象、逻辑推理) 3．了解平面向量的线性运算性质的几何意义．(直观想象) 导学 教材要点 要点一 向量的实数倍 1．向量的数乘的定义 一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作_____，称为a的_____倍，它的长度|λa|＝_____． 当λ≠0且a≠0时，λa的方向 当λ＝0或a＝0时，λa＝0a＝0或λa＝λ0＝0. 求向量的实数倍的运算称为向量的数乘． 状元随笔 理解数乘向量应注意的问题 (1)向量数乘的结果依然是向量，要从长度与方向加以理解． (2)实数与向量可以相乘，但是不能相加、减．如λ＋，λ－均没有意义． 2．向量的数乘的几何意义 向量的数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小． 要点二 共线向量 1．当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a，b_____，也称a，b_____，记作_____． 2．规定：零向量与所有的向量平行． 3．两个向量平行 其中一个向量是另一个向量的实数倍． 即a∥b 存在实数λ，使得b＝_____或a＝_____． 状元随笔 向量共线定理的理解注意点及主要应用 (1)定理中≠0→，≠0→不能漏掉. 若＝＝0→，则实数λ可以是任意实数；若＝0→，≠0→，则不存在实数λ，使得＝λ. (2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t ＋s ＝0→，则与共线；若两个非零向量与不共线，且t ＋s ＝0→，则必有t＝s＝0. 要点三 向量的夹角 1．设a，b是两个非零向量，任选一点O，作＝a，＝b，则射线OA，OB所夹的最小非负角∠AOB称为向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．平面向量夹角的范围为[0，π]. 状元随笔 (1)两个向量的夹角是唯一确定的，且〈〉＝〈〉． (2)当〈〉＝0时，方向相同；当〈〉＝π时，方向相反；当0<〈〉<π时，不共线． (3)当〈〉＝时，互相垂直，记作⊥. (4)0→与的夹角是任意大小，可以规定为0，也可以规定为等，因此，零向量与任一向量可以平行，也可以垂直． 要点四 单位向量 1．长度等于1个单位长度的向量． 2．对于任一非零向量a，都可得到与它方向相同的唯一单位向量e＝a. 状元随笔 单位向量只定义了大小，方向可以任意，方向不同的两个单位向量不相等． 要点五 数乘运算律 一般地，设a，b是任意向量，x，y是任意实数，则如下运算律成立： (1)对实数加法的分配律：(x＋y)a＝xa＋ya. (2)对实数乘法的结合律：x(ya)＝(xy)a. (3)对向量加法的分配律：x(a＋b)＝xa＋xb. 练习 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)实数λ与向量a的积还是向量．( ) (2)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．( ) (3)若b＝λa(a≠0)，则a与b方向相同或相反．( ) (4)表示向量a方向上的单位向量．( ) 2．化简：＝( ) A．2a－b B．2b－a C．b－a D．a－b 3．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝( ) A．4e2 B．4e1 C．3e1＋6e2 D．8e2 4．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则与共线(平行)的向量有_____． 导思 题型一 向量的线性运算 例1 (1)化简：－2(a＋b)； (2)若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，则m＝_____，n＝_____． 总结 向量线性运算的基本方法 (1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解， ... ...
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