1．4 向量的分解与坐标表示 最新课程标准 1.理解平面向量基本定理及其意义． 2．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算． 4．能用坐标表示平面向量共线的条件． 学科核心素养 1.理解平面向量基本定理的含义，了解基的含义．(数学抽象、逻辑推理) 2．掌握向量的正交分解，领会平面向量坐标的定义．(数学抽象) 3．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．(数学运算) 4．会用共线条件的坐标表示．(数学运算) 导学 教材要点 要点一 平面向量基本定理 1．定理：设e1，e2是平面上两个_____向量，则 (1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即_____，其中x，y是实数． (2)实数x，y由_____唯一决定．也就是：如果v＝xe1＋ye2＝x′e1＋y′e2，则x＝x′，y＝y′. 2．基：我们称不共线向量e1，e2组成平面上的一组基{e1，e2}，分解式v＝xe1＋ye2中的系数x，y组成的有序数组(x，y)，称为v在这组基下的坐标． 状元随笔 平面向量基本定理的理解 是同一平面内的两个不共线的向量，的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基． (2)平面内的任一向量都可以沿基进行分解． (3)基确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的． 要点二 平面向量的正交分解与坐标表示 1．把一个向量分解为两个_____的向量，叫作把向量正交分解． 2．平面上互相垂直的_____向量组成的基称为标准正交基，记作_____，其中i＝(1，0)，j＝(0，1)． 3．若单位向量e1，e2的夹角为90°，非零向量v的模|v|＝r，且e1与v的夹角为α，则v＝_____． 状元随笔 标准正交基是平面向量的一组特殊的基． 练习 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基．( ) (2)平面向量的基确定后，平面内的任何一个向量都能用这个基唯一表示．( ) (3)若{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基，则＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内．( ) (4)基向量可以是零向量．( ) 2．(多选)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组是这个平行四边形所在平面的一组基的是( ) A．与 B．与 C．与 D．与 3．已知AD是△ABC的中线，＝a，＝b，以a，b为基表示，则＝( ) A．(a－b) B．2b－a C．(b－a) D．2b＋a 4．在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝2i－3j，则向量用坐标表示a＝_____． 导思 对平面向量基本定理的理解 例1 (1)设e1，e2是同一平面内的两个向量，则有( ) A．e1，e2一定平行 B．e1，e2的模相等 C．对同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R) D．若e1，e2不共线，则对同一平面内的任一向量a都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R) (2)(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一组基，下列四组向量中能作为基的是( ) A．e2和e1＋e2 B．2e1－4e2和－e1＋2e2 C．e1和e1－e2 D．e1＋2e2和2e1＋e2 总结 对基的理解 (1)两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基，反之，则可作基． (2)一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 提醒：一个平面的基不是唯一的，同一个向量用不同的基表示，表达式不一样． 跟踪训练1 如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，其中可作为基的一组向量是( ) A． B． C． D． 题型二 平面向量基本定理的应用 角度1 用基表示平面向量 例2 如图所示，在△ABC中，M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基{a，b}表示向量. 总结 用基表示向量的两种基本方法 用基表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至 ... ...
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