1．5.2 数量积的坐标表示及其计算 导学 教材要点 要点一 数量积的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝_____． 状元随笔 对于·＝||·||·cos θ和 ·＝x1x2＋y1y2，两者无本质区别，计算时根据已知条件选用即可．可用坐标运算的结果判断cos θ的正负． 要点二 向量的长度 若a＝(x，y)，则|a|＝_____． 要点三 夹角余弦值 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos 〈a，b〉＝＝_____． 要点四 垂直条件 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b a·b＝0 _____． 状元随笔 这个结论与∥ x1y2－x2y1＝0不能混淆．可以从平行与垂直的定义来理解，设非零向量的起点均为原点O，的终点为A，的终点为B，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．若∥，且x1，x2不为0，则kOA＝kOB，即＝，得＝0.垂直则是从数量积的角度理解，若⊥，则cos θ＝0(θ为向量与的夹角)，·＝0，即x1x2＋y1y2＝0. 练习 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和．( ) (2)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1x2＋y1y2>0，则向量a，b的夹角为锐角．( ) (3)||的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的．( ) (4)两向量a与b的夹角公式cos θ＝的使用条件是a≠0且b≠0.( ) 2．已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则a·b的值是( ) A．23 B．7 C．－23 D．－7 3．已知a＝(－2，1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 4．已知a＝(1，)，b＝(－2，0)，则|a＋b|＝_____． 导思 题型一 数量积的坐标运算 例1 (1)设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则向量(a＋2b)·c＝( ) A．(－15，12) B．0 C．－3 D．－11 (2)如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝，D，E是线段BC上的点，且DE＝BC，则·的取值范围是( ) A． B． C． D． 总结 向量数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算． (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，看到题目中的直角条件要敏锐地产生建系的想法，并写出相应点的坐标求解． 跟踪训练1 (1)已知向量a＝(2，1)，b＝(－3，4)，c＝(－1，2)，则(a＋b)·c＝_____ (2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝_____． 题型二 向量的长度 例2 已知平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)． (1)求a－2b及其模的大小； (2)若c＝a－(a·b)b，求|c|. 总结 向量长度的计算，如果给出了坐标，先进行线性运算，再利用向量的长度公式计算． 跟踪训练2 (1)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于( ) A． B． C． D． (2)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝_____． 题型三 向量的夹角 例3 已知向量a＝(1，1)，b＝(0，－2)，当k为何值时， (1)ka－b与a＋b共线？ (2)ka－b与a＋b的夹角为120°？ 总结 利用平面向量数量积的两种表示，建立方程，再解方程求解，是处理这类问题的一种重要思路． 跟踪训练3 已知向量a＝(－1，3)，b＝(2，－1)，c＝λa＋b(λ≠0)，且|c|＝. (1)求实数λ的值； (2)求a与c夹角的余弦值． 题型四 向量的垂直 例4 已知向量a，b，c在同一平面上，且a＝(－2，1)． (1)若a∥c，且|c|＝25，求向量c的坐标﹔ (2)若b＝(3，2)，且ka－b与a＋2b垂直，求k的值．, 总结 “a·b＝0 a⊥b”是常用的结论，需牢记！ 跟踪训练4 已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝_____． 易错辨析 考虑问题不周致误 例5 已知A(1，2)，B(4，0)，C(8，6)，D( ... ...
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