【同步培优练】人教九下28.1.3特殊角的三角函数值（PDF，含答案）

同步培优 A 本@第 28 章锐角三角函数 28.1 锐角三角函数、课时 3 特殊角的锐角三角函数值 1. 如图，在 Rt △ 中，∠ = 90 ，∠ = 30 ， = 1，延长 到点 ，使 = ， 连接 ，利用此图解释的三角函数值中错误的是( ) A.tan 30 = 3 B.tan 60 = 3 3 C.tan 15 = 1 + 3 D.tan 75 = 2 + 3 2.如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算 的距离， 他从 处看 处的视线与水平线的夹角为30 ，则 =_____m . 3.如图，半圆 的直径 = 6，点 在弦 上， ⊥ 于点 ，∠ = 30 ， ⊥ ，交 半圆 于点 ，则 的长为____. 4.阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题： sin 30 = 1，cos 30 = 3，则sin230 + cos230 = ___；① 2 2 sin 45 = 2，cos 45 = 2，则sin245 + cos245 = ___；② 2 2 sin 60 = 3 cos 60 = 1， ，则sin260 + cos260 = ___;③…… 2 2 观察上述等式，猜想：对于任意锐角 ，都有sin2 + cos2 = ___． （1）如图，在锐角三角形 中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想. （2）已知∠ 为锐角(cos > 0)，且 sin = 3，求 cos 的值． 5 35/48 同步培优 A 本@第 28 章锐角三角函数 5.已知锐角三角形 中，∠ ，∠ ，∠ 的对边分别为 ， ， ，边角总满足关系式： = = sin sin ． sin （1）如图 1，若 = 6，∠ = 45 ，∠ = 75 ，求 的值； （2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池 中建一座小型景观桥 （如图2），若 ⊥ ， = 14 米， = 10米，sin∠ = 5 3，求景观桥 的长度． 14 36/48同步培优 A 本@第 28 章锐角三角函数 28.1 锐角三角函数、课时 3 特殊角的锐角三角函数值 1. 如图，在 Rt △ 中，∠ = 90 ，∠ = 30 ， = 1，延长 到点 ，使 = ， 连接 ，利用此图解释的三角函数值中错误的是( ) A.tan 30 = 3 B.tan 60 = 3 3 C.tan 15 = 1 + 3 D.tan 75 = 2 + 3 答案：C 解析： 在 Rt △ 中，由∠ = 30 ， = 1，得 = 2 ，由勾股定理，得 = 3， ∴ tan∠ = tan 30 = = 3 ，tan∠ = tan 60 = = 3，∴ 选项 A，B中的式子都 3 不符合题意. ∵ = = 2，∴ ∠ = ∠ = 1∠ = 15 ，∴ ∠ = 75 .在 Rt △ 2 中，tan∠ = tan 15 = = = 1 = 2 3 ，tan∠ = tan 75 = = 2+ 3 = 2 + + 2+ 3 1 3，∴ 选项 C中的式子符合题意，选项 D中的式子不符合题意. 2.如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算 的距离， 他从 处看 处的视线与水平线的夹角为30 ，则 =_____m . 答案：100 解析：由等高线可得 ， 两地的实际高度差为 550 500 = 50(m)，依题意作图，得∠ = 30 = 50 m ∠ = 90 ∴ = = 50 ÷ 1， ， ， = 100(m) . sin 2 3.如图，半圆 的直径 = 6，点 在弦 上， ⊥ 于点 ，∠ = 30 ， ⊥ ，交 半圆 于点 ，则 的长为____. 60/80 同步培优 A 本@第 28 章锐角三角函数 答案： 解析： 如图，连接 . ∵ ⊥ ， ⊥ ， ∴ ∠ = ∠ = 90 ，∵ = 6，∴ = = 3 ， ∵ ∠ = 30 ，∴ = tan 30 = 3 × 3 = 3 ，∴ = 2 2 = 6 . 3 4.阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题： sin 30 = 1，cos 30 = 3，则sin230 + cos230 = ___；① 2 2 sin 45 = 2，cos 45 = 2，则sin245 + cos245 = ___；② 2 2 sin 60 = 3，cos 60 = 1，则sin260 + cos260 = ___;③ 2 2 …… 观察上述等式，猜想：对于任意锐角 ，都有sin2 + cos2 = ___． 答案：1 ， 1 ， 1 ， 1 （1）如图，在锐角三角形 中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想. 解：如图， 过点 作 ⊥ 于点 . 在 △ 中， = ， = ，由勾股定理，得 + = ， ∴ + = ( ) + ( ) = + = . 3 （2）已知∠ 为锐角(cos > 0)，且 sin = ，求 cos 的值． 5 解：∵ ∠ 为锐角， = ， + = ，∴ = = . 61/80 同步培优 A 本@第 28 章锐角三角函数 5.已知锐角三角形 中，∠ ， ... ...