第一章 空间向量与立体几何（单元测试.含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台 第一章 空间向量与立体几何 一、单选题 1．已知向量，下列与垂直的向量是（　　） A．（2，0，1） B．（2，1，0） C．（2，1，1） D．（2，1，4） 2．已知向量（1，1，0），（﹣1，0，2），且k与2互相垂直，则k的值是（　　） A．1 B． C． D． 3．在空间直角坐标系内，平面α经过三点A（1，0，2），B（0，1，0），C（﹣2，1，1），向量是平面α的一个法向量，则λ+μ＝（　　） A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7 4．在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则（　　） A．l∥α B．l⊥α C．l α或l∥α D．l与α斜交 5．已知向量（2，1，﹣5），（4，y，z），且∥，则y+z＝（　　） A．﹣8 B．﹣12 C．8 D．12 6．已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为（2，3，4），则在，，下的坐标为（　　） A． B． C． D． 7．已知向量为平面α的一个法向量，点A（﹣1，2，1）在α内，则P（1，2，﹣2）到平面α的距离为（　　） A． B． C． D． 8．已知三棱锥A﹣BCD中，AB＝CD＝BD＝AC＝2，，则异面直线AB，CD所成角为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知向量（1，1，0），则与同向共线的单位向量（　　） A．（，，0） B．（0，1，0） C．（，，0） D．（﹣1，﹣1，0） 10．给出下列命题，其中不正确的为（　　） A．若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段 B．若，则，是钝角 C．若，则与一定共线 D．非零向量、、满足与，与，与都是共面向量，则、、必共面 11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，不能作为平面AEF的法向量的是（　　） A．（1，﹣2，4） B．（﹣4，1，﹣2） C．（2，﹣2，1） D．（1，2，﹣2） 12．下列说法不正确的是（　　） A．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于30° B．两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角 C．二面角的大小范围是[0°，180°] D．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小 三、填空题 13．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若向量，且点P与A，B，C共面，则实数λ＝　 　 ． 14．已知空间向量（1，﹣2，2），则||＝　 　 ． 15．已知向量（0，1，0），（1，0，1），||，且λ＞0，则λ＝　 　 ． 16．四棱锥S﹣ABCD的底面是平行四边形，，若，则x+y+z＝　 　 ． 17．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是C1C中点，则BE与平面B1BDD1所成角的正弦值为 　 　 ． 18．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BD＝DA＝4，．设直线AB与直线CD所成角为α，当二面角A﹣BD﹣C的大小在变化时，则cosα的最大值是　 　 ． 四、解答题 19．已知OA，OB，OC两两垂直，OA＝OC＝3，OB＝2，M为OB的中点，点N在AC上，AN＝2NC． （Ⅰ）求MN的长； （Ⅱ）若点P在线段BC上，设，当AP⊥MN时，求实数λ的值． 20．如图，在正三棱柱BCD﹣B1C1D1与四棱锥A﹣BDD1B1组成的组合体中，底面ABCD恰好是边长为2菱形，且CC1＝2． （1）求证：AD1∥平面BCC1B1； （2）设E是BD的中点，求直线B1E与直线AD1所成角的余弦值． 21．如图，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点，求证： （1）MN∥平面PAD； （2）求PD与平面PMC所成角的正弦值． 22．如图，在三棱柱ABC﹣DEF中，AB＝BC＝2，BE＝3，M是AC的中点，点A在平面BCFE上的射影为BF的中点． （Ⅰ）证明：AE∥平面BMF； （Ⅱ）若直线AB与平面BCFE所成角的正弦值为，求二面角M﹣BF﹣C的平面角的正切值． 23．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1所有的棱长为2，，M是棱BC的中点． （Ⅰ）求证：A ... ...