第一章 空间向量与立体几何（单元培优.含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台 第一章 空间向量与立体几何 一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知空间四面体ABCD的每条边长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则 的值为（　　） A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 2．对于空间任意两个非零向量，，∥是，0的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图，点A、B、C分别在空间直角坐标系O﹣xyz的三条坐标轴上，（0，0，2），平面ABC的法向量为（2，1，2），设二面角C﹣AB﹣O的大小为θ，则cosθ＝（　　） A． B． C． D． 4．对于任意空间向量（a1，a2，a3），（b1，b2，b3），给出下列三个命题： ①∥ ； ②若a1＝a2＝a3＝1．则为单位向量； ③⊥ a1b1+a2b2+a3b3＝0． 其中真命题的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知向量{，，}是空间的一个单位正交基底，向量{，，}是空间的另一个基底，若向量在基底{，，}下的坐标为（3，2，1），则它在{，，}下的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在四面体OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，则（　　） A． B． C． D． 7．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 8．在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中，若xy2z，则x+y+z＝（　　） A． B．2 C． D． 二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，不能作为平面AEF的法向量的是（　　） A．（1，﹣2，4） B．（﹣4，1，﹣2） C．（2，﹣2，1） D．（1，2，﹣2） 10．在三棱锥P﹣ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE：EC＝PF：FB＝1：2，则下列说法正确的是（　　） A．EG⊥PG B．EG⊥BC C．FG∥BC D．FG⊥EF 11．在以下命题中，不正确的命题有（　　） A．||﹣||＝||是，共线的充要条件 B．若∥，则存在唯一的实数λ，使λ C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P，A，B，C四点共面 D．若{，，}为空间的一个基底，则{，，}构成空间的另一个基底 12．如图四棱锥P﹣ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为矩形，CD＝2，点Q是PD的中点，则下列结论正确的是（　　） A．CQ⊥平面PAD B．PC与平面AQC所成角的余弦值为 C．三棱锥B﹣ACQ的体积为 D．四棱锥Q﹣ABCD外接球的内接正四面体的表面积为 三、填空题：本题共4小题． 13．已知异面直线m，n的方向向量分别为（2，﹣1，1），（1，λ，1），若异面直线m，n所成角的余弦值为，则λ的值为 　 　 ． 14．已知向量其中a2+b2＝c2+d2＝1，现有以下命题： （1）向量与z轴正方向的夹角恒为定值（即与c，d无关 ）； （2）的最大值为； （3）（的夹角）的最大值为； （4）若定义，则的最大值为． 其中正确的命题有　 　 ．（写出所有正确命题的序号） 15．已知P为棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为　 　 ． 16．如图在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知，O为底面ABCD的中心，G为△D1C1O的重心，则　 　 四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，E为棱PC的中点． （1 ... ...