第二章 一元二次函数、 方程和不等式（单元培优.含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台 第二章 一元二次函数、 方程和不等式 一、填空题 1．函数y的最大值为　 　 ． 2．已知正实数a，b满足a+b﹣ab+3＝0，则a+b的最小值是　 　 ． 3．已知x，y为正实数，则的最小值为　 　 ． 二、解答题 4．对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2+px＞4x+p﹣3恒成立，试求x的取值范围． 5．解不等式1（a∈R）． 6．已知二次函数f（x）＝x2+mx﹣6（m＞0）的两个零点为x1和x2，且x2﹣x1＝5． （1）求函数f（x）的解析式； （2）解关于x的不等式f（x）＜4﹣2x． 7．（1）已知a＞0，b＞0，且4a+b＝1，求ab的最大值； （2）若正数x，y满足x+3y＝5xy，求3x+4y的最小值； （3）已知x，求f（x）＝4x﹣2的最大值． 8．设y＝ax2+（1﹣a）x+a﹣2． （1）若不等式y≥﹣2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式ax2+（1﹣a）x+a﹣2＜a﹣1（a＜0）． 9．已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1，或x＞b}． （Ⅰ）求实数a，b的值； （Ⅱ）解关于x的不等式ax2﹣（ac+b）x+2c＜0． 10．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为12m2，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为xm（2≤x≤6）． （1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（a＞0）；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 第二章 一元二次函数、 方程和不等式 参考答案与试题解析 一、填空题 1．函数y的最大值为　　 ． 【答案】． 【分析】令t，则x＝t2+1，代入原函数解析式，整理后分t＝0和t＞0求解，当t＞0时，利用基本不等式求最值． 【解答】解：令t，则x＝t2+1， ∴y． 当t＝0，即x＝1时，y＝0； 当t＞0，即x＞1时，y． ∵（当且仅当t＝2时取等号）， ∴y． 即y的最大值为（当t＝2，即x＝5时y取得最大值）． 故答案为：． 【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，训练了利用换元法及基本不等式求最值，是中档题． 2．已知正实数a，b满足a+b﹣ab+3＝0，则a+b的最小值是　6　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用基本不等式将a+b﹣ab+3＝0中的ab表示成a+b，求解不等式即可求得a+b的取值范围，从而得到a+b的最小值． 【解答】解：∵正实数a，b满足a+b﹣ab+3＝0， ∴a+b+3＝ab，当且仅当a＝b时取等号， 即（a+b）2﹣4（a+b）﹣12≥0，解得a+b≥6或a+b≤﹣2， 又∵正实数a，b， ∴a+b≥6，即a+b的最小值是6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．属于中档题． 3．已知x，y为正实数，则的最小值为　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】由x，y为正实数，可得1，令t＞0，则f（t）t+1t，利用基本不等式求出最小值即可． 【解答】解：∵x，y为正实数， ∴1， 令t＞0，则f（t）t+1t2 可知：当t即t时，函数f（t）取得最小值． 故答案为：． 【点评】本题考查了换元法和基本不等式求最小值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二、解答题 4．对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2+px＞4x+p﹣3恒成立，试求x的取值范围． 【答 ... ...