2025-2026高中数学人教A版（2019）必修第一册 第五章 三角函数 5.5.2 简单的三角恒等变换 一、单选题 1.（2025广东深圳高级中学月考）若是第三象限角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 2.（2025江西上饶联考）已知，，则（ ） A. B. C. D. 3.（2023河南焦作期中）已知且，则（ ） A. B. C. D. 4.（2025山东临沂第一中学月考）已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 5.（2025辽宁沈阳二十中月考）已知是函数的最大值点，则（ ） A. B. C. D. 6.（2023湖北省武昌实验中学月考）计算：（ ） A. B. C. D. 二、多选题 7.（2024福建师大附中月考）下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 8.（2024黑龙江哈尔滨三中开学考试）在中，下列命题正确的是（ ） A. 若，则为等腰或直角三角形 B. 若，则为直角三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为正三角形 9.（2025四川江油太白中学月考）已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 10.（2025江苏江阴期中）= . 11.（2025陕西榆林期末）计算：_____. 12.（2025广东湛江期中）已知，，则_____. 四、解答题 13.（2025河南周口期中） （1）已知为的三个内角，，求证：； （2）证明：. 14.（2024南京师范大学苏州实验学校阶段调研） （1）已知，，且，求； （2）化简：. 15.如图，扇形的圆心角为，所在圆的半径为2，作这个扇形的内接矩形，点是弧的中点，矩形的顶点在弧上，且关于所在直线对称，顶点分别在半径上，。求矩形面积的最大值和此时的值。 一、单选题 1. 答案:A 解析:第一步化简已知条件: 由两角差的正弦公式 ,原式可化为: ,故 。 第二步确定 的范围与 : 是第三象限角( , ),故 。 第三步用半角公式求 : 半角公式 (第三象限角的半角在第二象限,正切为负),代入得: 。 2. 答案:A 解析:第一步化简目标式: 由诱导公式 ,得 。 第二步确定 的范围与 : ,故 ； 由 ,得 (第二象限 )。 第三步用半角公式求 : 半角公式 ( 在第一象限,余弦为正),代入得: ,故 。 答案:D 解析:第一步用二倍角公式化简已知条件: 由 ,移项得 。 代入二倍角公式 、 ,得: ,即 。 第二步求解 : 因 ,故 ,两边除以 得: ,即 ,故 。 4. 答案:D 解析:第一步化简已知条件: 展开 ,代入原式得: 。 提取 并利用两角和的正弦公式: ,故 。 第二步化简目标式: 由角的配凑 ,利用诱导公式 ,得: 。 5. 答案:A 解析: 第一步将 化为 " 形式: 辅助角公式: , 其中 、 (对比 的系数)。 第二步确定最大值点 : 正弦函数最大值点满足 ,故 。 第三步求 : 由诱导公式 ,得 。 6. 答案:C 解析: 第一步将正切化为弦函数: 第二步化简分子: 由二倍角公式 ,分子变为 ； 配凑角 ,代入得: 。 第三步用辅助角公式化简: 分子 , 结合分母 ,最终化简得 。 二、多选题 7. 答案:BCD 解析: 逐一验证选项: :由两角和的正切公式 ,得 ,代入原式得 ,错误； B : ,正确； : ,原式 (二倍角公式递推: ),故 ,正确； D: 原式 ,正确。 8. 答案:ACD 解析: 逐一分析选项: : ,则 或 ,即 或 ,故 为等腰或直角三角形,正确； B: ,则 或 (即 或 )。 若 、 ,满足 ,但 非直角三角形,错误； C : 在 中,恒等式 。若 ,则 ,必有一内角为钝角,故 为钝角三角形, 正确; : ,三余弦乘积为 1,故 ,得 , 为正三角形,正确。 9. 答案:BCD 解析:逐一验证选项: : ,由二倍角公式 ,解得: (第二象限 ), 故A错误； B: 、 ,则 。由 ,知 (第三象限),故 ,正确； C:由 得 、 ；结合 、 ,得: ,故 。 计算 ,得 ,正确； D: ,正确。 三、填空题 10. 答案: 解析:第一步用积化和差公式化简: ; 。 第二步合并并利用和角公式: 原式 ,结合 、 ,最终化简得 (数值验证: , ,总和 )。 答案: -8 解析:第一步化简分母: 由二倍角公式 ,分母可化为: (因 )。 第二步化简分子: 分子 , 由辅助角公式 ,故分子 。 第三步计算结果: 原式 ,代 ... ...
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