2024-2025学年云南省曲靖市师宗二中高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知是等差数列，，则( ) A. B. C. D. 2.已知等比数列的公比为，且，则( ) A. B. C. D. 3.定义在上的函数在区间内的平均变化率为，其中，则函数在处的导数( ) A. B. C. D. 4.已知函数，则的大小关系为( ) A. B. C. D. 5.在数学王国中有许多例如，等美妙的常数，我们记常数为的零点，若曲线与存在公切线，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.设函数，下列说法正确的为( ) A. 当自变量从变化到时，函数的平均变化率为 B. 在处的瞬时变化率为 C. 在上为减函数 D. 在时取极小值 7.已知是上的偶函数，且当时，若，则( ) A. B. C. D. 8.设椭圆的左焦点为，点在椭圆外，，在椭圆上，且是线段的中点若椭圆的离心率为，则直线，的斜率之积为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在正方体中，是线段上一点，则的大小可以为( ) A. B. C. D. 10.已知圆：和圆：交点为，，则( ) A. 圆和圆有两条公切线 B. 直线的方程为 C. 圆上存在两点和使得 D. 圆上的点到直线的最大距离为 11.已知且，曲线：，则下列结论中正确的是( ) A. 当时，曲线是椭圆 B. 当时，曲线是双曲线 C. 当时，曲线的焦点坐标为， D. 当时，曲线的焦点坐标为， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.定义一个可导函数在定义域内一点处的弹性为，请写出一个定义在正实数集上且任意一点处的弹性均为的可导函数_____． 13.方程表示一个圆，则实数的取值范围为_____． 14.过点的直线为，为圆：与轴正半轴的交点若直线与圆交于，两点，则直线，的斜率之和为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数． 依次求，，的值； 对任意正整数，记，即猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 16.本小题分 如图，在斜三棱柱中，所有棱长均相等，，分别是，的中点． 证明：平面； 若，且，求平面与平面所成角的余弦值． 17.本小题分 已知直线：，半径为的圆与相切，圆心在轴的非负半轴上． 求圆的方程； 设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程． 18.本小题分 如图，圆的半径为，是圆内一个定点且，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，点在圆上运动． 求点的轨迹； 当时，证明：直线与点形成的轨迹相切． 19.本小题分 已知为无穷递增数列，且对于给定的正整数，总存在，，使得，，其中令为满足的所有中的最大值，为满足的所有中的最小值． Ⅰ若无穷递增数列的前四项是，，，，求和的值； Ⅱ若是无穷等比数列，，公比是大于的整数，，，求的值； Ⅲ若是无穷等差数列，，公差为，其中为常数，且，，求证：，，，，和，，，，都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.， 13. 14. 15.函数， 则，，，， ，，， 所以，，； ，，， 所以猜想， 当时，，成立， 假设当时，命题成立，即， 函数， 即， 那么当时， ， 所以当时，猜想成立， 综合以上可知，当时，成立． 16.证明：连接交于点，连接，， 因为，分别是，的中点，为的中点，所以，且， 又因为，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以E. 又因为平面，平面， 所以平面． 解：连接，因为，所以为正三角形，所以， 因为，且，所以平面， 因为是正三角形，所以． 以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示： 设，则，，，， 由，可得． 则，，， 设平面的法向量为， 所以， 令，得， 设平面的法向量为， 所以， ... ...
