2025 学年上海市延安中学高一第二学期开学摸底测试卷 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分100分） 考生注意： 1. 带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具。 2. 本试卷共4页，21道试题，满分100分，考试时间120分钟 一.填空题（每小题3分，共36分） 1．已知，则的单位向量坐标为 ． 2．已知的内角、、的对边分别为、、，若的面积为，，则该三角形的外接圆半径R= ． 3．已知角终边上点坐标为，则 ． 4．“南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一．已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲坐上摩天轮6分钟后，乙也坐上了摩天轮，又过了分钟后，甲乙两人离底面高度相等，则 ． 5．已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 6．在△ABC中，，，M为AC的中点，P在线段AB上，则的最小值为 ． 7． 已知，为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ． 8．已知，，则 ． 9．已知函数的表达式是，若对于任意都满足，则实数a的取值范围是 ． 10．已知，，若存在，对任意，恒成立，则 ． 11．已知平面向量，，，满足：，，，，则的最大值为 ． 12．定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列叫做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列是以为首项，公差的等差向量列.若向量与非零向量）垂直，则 ． 二.选择题（每小题4分，共16分） 13．已知与都是非零有理数，则在，，中，一定是有理数的有（ ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 14． 已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基底的一组向量是（ ） A． B． C． D． 15．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 16．对于函数，有以下4个结论： ①函数的图象是中心对称图形； ②任取，恒成立； ③函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等； ④函数与直线的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等． 其中正确的个数为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 三.解答题（共48分） 17．（本题共8分，每小问均为4分） 已知． （1）若，求：实数x的值； （2）若，求：实数x的值． 18．（本题共8分，每小问均为4分） 足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置处起脚射门进球的可能性最佳（即点对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，在轴的上方. （1）若，求：此时的外接圆的圆心坐标 （2）过点作轴的垂线，垂足为，若，求：当最大时，点的坐标 19．（本题共10分，（1）（2）小问均为3分，（3）小问为4分） 已知函数. （1）若，求：函数的最小正周期及其图象的对称中心. （2）若函数在区间上严格单调递增，求：的取值范围. （3）若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求：的取值范围. 20．（本题共10分，（1）小问2分，（2）（3）小问均为4分） 已知中，，令，且．过边上一点（异于端点）作边的垂线，垂足为，再由作边的垂线，垂足为，又由作边的垂线，垂足为．设． （1）求的长度； （2）若，求的值； （3）若存在实数，使得为常数，求的值，并写出该常数． 21．（本题共12分，（1）小问3分，（2）小问4分，（3）小问5分） 在直角坐标平面上的一列点，，…，，…，简记为．若由构成的数列满足，，2，…，其，则称为“点列”． （1）判断，，，…，，是否为“点列”，并说明理由； （2）判 ... ...
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