2025-2026学年黑龙江省黑河市九校联考高二（上）期初数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的共轭复数是( ) A. B. C. D. 2.已知向量，，且，则( ) A. B. C. D. 3.已知在中，，则( ) A. B. C. D. 4.已知棱台的上、下底面面积分别是，，高为，则该棱台的体积是( ) A. B. C. D. 5.如图，在四面体中，是棱上一点，且，是棱的中点，则( ) A. B. C. D. 6.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为( ) A. B. C. D. 7.已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是( ) A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 8.已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列命题中正确的是( ) A. 若两个不同平面，的法向量分别是，，则 B. 若，，，则点在平面内 C. 已知，，则与方向相同的单位向量是 D. 若，，是空间的一组基，则向量，，也是空间的一组基 10.已知复数，则下列说法正确的是( ) A. 的虚部为 B. C. 在复平面内对应的点位于第三象限 D. 11.已知的面积为，内角，，所对的边分别为，，，下列各条件能推出的是( ) A. B. C. ，且 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是_____． 13.已知，，则 _____． 14.已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且四边形是边长为的正方形，若四棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 设函数． 求的最小正周期，图象的对称中心； 求的单调递减区间． 16.本小题分 已知， 求与的夹角； 若，且，求的值． 17.本小题分 如图，在菱形中，，，是线段的中点，将沿折起到的位置． 若，证明：平面平面； 若二面角是，求点到平面的距离． 18.本小题分 在中，角，，所对的边分别为，，，． 求； 已知． (ⅰ)当时，求的值； (ⅱ)当时，求的周长． 19.本小题分 如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点不含端点． 证明：平面； 若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． (ⅰ)求三棱锥的体积； (ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15解：函数， 的最小正周期为， 令，，解得，， 故的图象的对称中心为； 令，， 解得，， 故的单调递减区间为，． 16由题意可得：， 则， 解得， 又由且， 所以， 即向量与的夹角为． 由且， 可得， 因为，且，可得， 解得． 17.证明：在中，由余弦定理， 得， 所以，所以， 将沿折起后，必有， 又，与相交，平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； 由知，所以分别以直线，为轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，又平面， 所以平面平面，所以， 设平面的一个法向量， 则即令，则， 又，所以点到平面的距离． 18.由题意， 又因为， 可得； 因为，，， 又因为，可得，即， 解得或； (ⅱ)由于， 所以， 因为，，可得，可得， 可得， 又因为， 可得， 所以由正弦定理可得，解得， 可得的周长为． 19.解：证明：因为，分别是，的中点， 所以． 因为平面，平面， 所以平面； 如图，连接， 因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点， 所以点是外接圆的圆心． 因为是等边三角形，是中点， 所以外接圆的圆心在上． 又平面平面， 所以球的球心即为外接圆的圆心． 因为球的表面积， 所以球的半径， ... ...
