北京市北京师范大学燕化附属中学2026届高三上学期开学测试数学试题（含答案）

北京市北京师范大学燕化附属中学2026届高三上学期开学测试数学试题 【说明】试卷满分150分考试时间120分钟 一 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把正确的答案涂在答题卡中相应的位置. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. 0 C. D. 3. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点的初始位置坐标为，则运动到分钟时，动点所处位置的坐标是 A. B. C. D. 5. 已知向量满足与夹角为，则与的夹角为（ ） A B. C. D. 6. 国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ） A. 3.8小时 B. 4小时 C. 4.4小时 D. 5小时 7. 若两个正实数满足，若至少存在一组使得成立，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 函数在区间内只有一个极值点的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，某校数学兴趣小组为了测量某古塔的高度，在地面上共线的三点C，D，E处测得点A的仰角分别为，且，则古塔高度约为（ ）（结果保留整数）（参考数据：） A 69m B. 70m C. 73m D. 75m 10. 已知函数若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二 填空题共5小题，每小题5分，共25分 11. 函数的定义域是_____. 12. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则_____. 13. 写出一个同时具有下列性质的函数的解析式：_____. ①不是常函数 ②的最小正周期为2 ③不存在对称中心 14. 某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中是一个平面多边形，平面平面，平面平面，.若，则该多面体的体积为_____. 15. 已知函数给出下列四个结论： ①当时，的最小值为0； ②当时，存在最小值； ③当时，在上单调递增； ④的零点个数为，则函数的值域为. 其中所有正确结论序号是_____. 三 解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）求证：平面PAB； （2）求二面角的大小． 17. 已知函数，再从条件① 条件② 条件③这三个条件中选择一个作为已知，求： （1）的单调递增区间； （2）在区间的取值范围. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 在中，内角的对边分别为为钝角，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③： 19. 某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图： （1）若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）； （2）在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用表示其成绩在中的人数，求的分布列及数学期望； （3）在（2）抽取的3人中，用表示其成绩在的人数，试判断方差与的大小.（直接写结果） 20. 已知函数在上可导，且． （1）当时，求的最小值点； （2）设函数在处的切线为，求证：恒过定点； （3）若，且时，单调递减，试问当时，是否恒在直线下方？说明理由． 21. 已知正整数，若正整数集 ... ...