8.2.1　两角和与差的余弦 导学案（含答案）

8．2.1　两角和与差的余弦 【课程标准】　1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，进一步体会向量方法的作用.2.能利用两角和与差的余弦公式进行化简求值.3.两角和与差的公式的逆用、变形用． 教 材 要 点 知识点　两角和与差的余弦公式 Cα＋β：cos (α＋β)＝_____． Cα－β：cos (α－β)＝_____． 【公式理解】 (1)公式中的α，β是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合； (2)两公式间的联系：Cα－βCα＋β； (3)要掌握公式的逆用：cos (α＋β)cos β＋sin (α＋β)·sin β＝cos [(α＋β)－β]＝cos α； (4)注意公式的结构特征和符号规律：记忆口诀“余余正正号相反”． 【学霸笔记】　用向量法推导两角差的余弦公式时，角α，β终边与单位圆交点P1，P2的坐标是怎样得到的？ [提示]　依据任意角三角函数的定义得到的．以点P为例，若设P(x，y)，则sin α ＝，cos α ＝，所以x ＝cos α，y ＝sin α，即点P的坐标为(cos α，sin α)． 基 础 自 测 1.cos 22°cos 38°－sin 22°sin 38°＝(　　) A． B． C． D． 2．化简cos (α＋β)cos β＋sin (α＋β)sin β＝(　　) A．sin (2α＋β) B．cos (2α－β) C．cos α D．cos β 3．(多选)下列选项中能满足cos αcos β＝＋sin αsin β 的是(　　) A．α＝ B．α＝ C．α＝ D．α＝ 4．已知sin α＝，α∈，则cos ＝_____． 5．＝_____． 题型1利用两角和与差的余弦公式化简求值 例1(1)cos 345°＝(　　) A． B． C． D．－ 利用诱导公式，两角差的余弦公式求解． (2)化简下列各式： ①cos (θ＋21°)cos (θ－24°)＋sin (θ＋21°)sin (θ－24°)； ②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. (3)设3：30时刻，时针和分针所夹的角为θ，则cos θ＝(　　) A．0 B． C． D． 总结 1．在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时，常将两角的和或差视为一个整体． 2．在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值． 跟踪训练1　求下列各式的值： (1)cos ； (2)sin 460°sin (－160°)＋cos 560°cos (－280°)； (3)cos (α＋20°)cos (40°－α)－sin (α＋20°)sin (40°－α)． 题型2给值(式)求值 例2(1)cos 80°－2sin 160°sin 80°＝(　　) A．－ B． C． D．－ (2)α，β为锐角，cos (α＋β)＝，cos (2α＋β)＝，求cos α的值． 总结　(1)可先将80 °转化为160 °－80 °，再用两角差的余弦公式求解即可； (2)可考虑拆角即α ＝(2α＋β)－(α＋β)来求cos α. 总结 给值求值的解题步骤： (1)找角的差异．已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异． (2)拆角与凑角．根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， α＝[(α＋β)＋(α－β)，α＝[(β＋α)－(β－α)等． (3)求解．结合公式Cα±β求解便可． 跟踪训练2　若0<α<，0<β<，cos (α＋β)＝cos β＝，则cos ＝_____． 题型3已知三角函数值求角 例3已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值． 总结　本题可先求出cos (α－β)的值，结合α－β的范围，再求出α－β的值． 总结 1．这类问题的求解，关键环节有两点： (1)求出所求角的某种三角函数值； (2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，即可求解． 2．确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定． 跟踪训练3　设 ... ...