2.2 充分条件、必要条件、充要条件 1.理解充分、必要条件与充要条件的概念. 2.掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断方法. 3.会对某些命题的充要条件进行证明. 某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关． 想一想： (1)A开关闭合时B灯一定亮吗？ (2)从数学的角度如何描述这种关系？ 先完成对下列真、假命题的条件与结论间的关系的判断，再尝试归纳得出的结论. 试一试 (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形 是菱形； (2)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b. ? 真命题 由p可以推出q成立 假命题 (3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (4)若x2?4x+3=0，则x=1； ? 由p可以推出q成立 两个三角形的周长相等，这两个三角形未必全等； 若x2?4x+3=0，x不一定为1，还可以为3. ? 假命题 (3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (4)若x2?4x+3=0，则x=1； ? 命题真假 “若p，则q”真 推理关系 条件关系 “若p，则q”假 称p是q的充分条件 也称q是p的必要条件 称p不是q的充分条件 也称q不是p的必要条件 要点归纳 充分条件和必要条件的关系是同时存在的 例如p:我是河南人 q: 我是中国人 p? q，则p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 p:我是中国人 q: 我是中国人 P＝Q P Q P Q √ 从集合角度理解充分条件、必要条件: 要点归纳 例1.下列所给的各组 ????，????中，???? 是 ???? 的充分条件的有哪些? (1) ????：????＝2，????：????2－????－2＝0； (2) ????：四边形的对角线相等，????：四边形是正方形. (3) ????：同位角相等，????：两条直线平行； (4) ????：四边形是平行四边形，????：四边形的对角线互相平分. ? 解： (1)，(3)， (4) 1.指出下列哪些命题中????是????的充分条件？ (1)????：????∈????，????：????∈????； ? 解 由????＝1?(????－1)(????－2)＝0，故????是????的充分条件. ? 解 由于Q?R，所以p?q，所以????是????的充分条件. ? (2)已知????，????∈????，????：????＝1，????：(????－1)(????－2)＝0； ? 练一练 (3)已知????∈????，????：????>2，????：????>4. ? 解 方法一 由????>2?????>4，所以????不是????的充分条件. 方法二 设集合????＝{????|????>2}，????＝{????|????>4}， 所以?????????，所以????不是????的充分条件. ? 思考：现在你能总结充分条件或必要条件的判断方法吗？ 练一练 (1)定义法： 若?????????，则????是????的充分条件，????是????的必要条件. (2)集合法： 若????对应的集合为????，????对应的集合为????，若?????????，则????是????的充分条件，????是????的必要条件. ? 方法归纳 充分条件或必要条件的判断方法 解： (1)，(3)， (4) 既有 ???? ? ????，也有???? ? ????. ? 例2. 下列所给的各组 ????，????中，???? 是 ???? 的必要条件的有哪些? (1) ????：∣????∣＝1，????：????＝1； (2) ????：两个直角三角形全等， ????：两个直角三角形的斜边相等； (3) ????：同位角相等，????：两条直线平行； (4) ????：四边形是平行四边形， ????：四边形的对角线互相平分 ? 已知p:整数a是6的倍数； q:整数a是2和3的倍数. p是q的必要条件吗？p是q的充分条件吗？ 思考1： √ √ P Q ????????? ? ????????? ? 充分 必要 q 是 p 的充分条件，即p是q的必要条件 p是q的充分条件 ????????? ? 要点归纳 充要条件 思考2：若????是????的充分条件，这样的条件????唯一吗？ ? 不唯一. 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形 若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形 若四边形的两条对角线互 ... ...
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