2025-2026学年南京市励志高级中学创新班高一（上）第一次月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若向量，，且，则( ) A. B. C. D. 2.已知向量，，则( ) A. B. C. D. 3.已知向量，，则向量在向量上的投影为( ) A. B. C. D. 4.若向量与满足，且，则在上的投影向量的模为( ) A. B. C. D. 5.对于不同直线，和平面，，下列叙述错误的是( ) A. ，，则 B. ，，，，则 C. ，，，，，则 D. ，，，则 6.，为不同的平面，，为不同的直线，则下列判断正确的是( ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7.如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的有个． A. B. C. D. 8.如图，在中，已知，，，、边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知正方体，则( ) A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 直线平面所成的角为 D. 直线与平面所成的角为 10.如图，四棱锥中，底面为菱形，，分别为，的中点，则平面的一个充分条件可以为( ) A. B. 平面 C. D. 11.已知向量，则( ) A. B. 向量在向量上的投影向量是 C. D. 与向量方向相同的单位向量是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是_____． 13.定义：向量叫向量与的外积，且的模为其中表示向量与的夹角已知点，，，则_____． 14.已知向量的模长分别为，，，记向量与的夹角为，，则的最大值为_____． 四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知，函数． 求函数的解析式和单调增区间； 当时，求函数的最小值和最大值． 16.本小题分 已知：、、是同一平面内的三个向量，其中 若，且，求的坐标； 若，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 17.本小题分 已知，是单位向量，且． 若非零向量满足，求的最大值； 若向量满足，求的取值范围． 18.本小题分 如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． 求证：平面； 求证：平面； 设平面平面，求证：平面． 19.本小题分 如图，四边形为菱形，，是边长为的等边三角形，点为的中点，将沿边折起，使，连接，如图， 证明：； 求异面直线与所成角的余弦值； 在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 20.本小题分 在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，． 当时，求的值； 当时，求的值； 求的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.已知， 由题意 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为． 由题意， 所以的取值范围是， 所以的最小值为，最大值为． 16.解：，，故可设，由，可得， 解得， 或． ，， ， 与的夹角为锐角， ， ，． 而当与共线且方向相同时，，， 解得， 故的取值范围为． 17.设为向量与的夹角， 因为，且， 所以 ， 所以． 又因为，， 所以， 所以， 所以的最大值为； 由，得． 又因为，是单位向量，所以，且， 不妨令，，， 则． 又因为， 所以根据几何关系可知，， 所以的取值范围是． 18.证明：连接，交于，如图， 底面是正方形，故为的中点，， 平面，平面， 由线面平行的判定定理得平面； 平面，平面，， 又在正方形中，， ，，平面， 由线面垂直的判定定理得平面， 又平面，， ，为中点，， 又，且平面，平面， 由线面垂直的判定定理得平面 在正方形中，有， 平面，平面， 平面， 面，平面平面，， 平面，平面， 由线面平行的判定定理得平面． 19.证明：连 ... ...
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