1.5 数学归纳法 导学案 （含答案）

*§5　数学归纳法 最新课程标准 学科核心素养 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题． 1.了解数学归纳法原理．(数学抽象) 2．能用数学归纳法证明与正整数有关的数学问题．(逻辑推理、数学运算) 导学 [教材要点] 要点　数学归纳法 (1)概念：用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法． (2)步骤：①证明：当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立； ②假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立． 根据①②可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立． [练习] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)推证n＝k＋1时可以不用n＝k时的假设．(　　) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　　) (3)不管是等式还是不等式，用数学归纳法证明时由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　) (4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n+2＝2n+3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　　) 2．已知f(n)＝，则(　　) A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝ B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝ C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝ D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝ 3．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n-1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到(　　) A．1＋2＋22＋…＋2k-2＋2k-1＝2k+1－1 B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k+1＝2k－1＋2k+1 C．1＋2＋22＋…＋2k-1＋2k+1＝2k+1－1 D．1＋2＋22＋…＋2k-1＋2k＝2k+1－1 4．用数学归纳法证明命题“1＋>(n∈N＋，且n≥2)”时，第一步要证明的结论是_____． 导思 题型一　证明恒等式 例1　用数学归纳法证明1－(n∈N*)． 总结 用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： (1)n＝n0时，等式的结构． (2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项． 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项． ②代数式相邻两项之间的变化规律． ③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系． 跟踪训练1　用数学归纳法证明： (n∈N＋) 题型二　证明不等式 例2　用数学归纳法证明： <1－(n≥2，n∈N*)． 总结 用数学归纳法证明不等式的四个关键 (1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1. (2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设． (3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明． (4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立，得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、放缩法等． 跟踪训练2　求证：＞(n≥2，n∈N*)． 题型三　证明猜想 例3　在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝. (1)求a1，a2，a3. (2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想． 总结 1．“归纳—猜想—证明”的解题步骤 2．“归纳—猜想—证明”解决的主要问题 (1)已知数列的递推公式，求通项公式或前n项和． (2)由一些恒等式，不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． (3)给出一些简单命题(n＝1，2，3……)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题． 提醒：①计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；②猜想必须准确，绝 ... ...