河北省秦皇岛市第一中学2025-2026学年高三年级9月月考 数学答案 注意事项： 1.本试题共两部分，满分100分，时间75分钟。 2.阅卷老师应严格按照此答案进行阅卷，必要时可增加答案要点，但应该提前与阅卷组组长沟通并通知阅卷组。 3.请各位考生按照答案中评分标准认真核对。 4.阅卷结束后，阅卷老师请与阅卷公司核对阅卷结果是否已经上传，无误之后即可结束阅卷。 1—5 BAACD 6—8 BCD 9. BCD 10. AC 11. BCD 12. 2 15. 【解题思路】 (1) 通解 由 及正弦定理， 得 ，（2分） 即 ，（三角形内角和定理及诱导公式的应用）（4分） 即 ，（5分） 因为 ，所以 ，所以 。（6分） 优解 由题意得 ，即 ，（2分） 所以 ，得 ，即 ，（4分） 所以 ，（5分） 又 ，所以 。（6分） (2) 由(1)得 ，（三角形面积公式的应用）（8分） 所以 。（9分） 在 中，由余弦定理可得， ， 当且仅当 ，即 ， 时等号成立，（运用基本不等式时，要说明等号成立的条件）（11分） 此时 ， 故 。（13分） 16. 【解题思路】 (1) 第一步：给出结论 线段 上存在点 ，且 为 的中点，使得 四点共面。证明如下：（1分） 第二步：利用线面垂直的判定定理得 平面 连接 ，由于四边形 是菱形，所以 ， 又 平面 ， 平面 ，所以 ，（2分） 又 ， 平面 ， 所以 平面 。（3分） 第三步：利用面面垂直的性质定理得 平面 连接 ，因为 为 的中点，，所以 ，（4分） 又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，（5分） 第四步：证明 ，进而证明结论成立 因此 ，（垂直于同一个平面的两条直线互相平行）（6分） 所以在线段 上存在点 ，使得 四点共面。（7分） (2) 第一步：建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标 取 的中点 ，连接 ，设 与 的交点为 ，连接 ， 则 ，且 ，因为 平面 ，所以 平面 ，又 ，故以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，（8分） 因为底面 是菱形，，所以 ，， 因为 ，所以 ， 由(1)知 ，所以四边形 是矩形，所以 ，（10分） 所以 ，，，， 所以 ，，。（11分） 第二步：求解平面 、平面 的法向量 设平面 的法向量为 ， 所以 ，即 ，取 ，则 。（点拨：平面的法向量不唯一，正确求出平面的其他法向量也给分）（12分） 设平面 的法向量为 ， 所以 ，即 ，取 ，则 。（13分） 第三步：利用向量的夹角公式求解二面角的余弦值 ，（14分） 由图易知二面角 为钝角，所以二面角 的余弦值为 。（15分） 17. 【解题思路】 (1) 设甲第 次投进为事件 ，乙第 次投进为事件 ， 则 ，。 所以甲、乙前2次都投进2次的概率为 ，（2分） 甲、乙前2次都投进1次的概率为 ，（4分） 甲、乙前2次都投进0次的概率为 。（提示：进行第3次投篮的前提条件是前2次甲、乙投进的次数相同，所以应分为前2次都投进2次、1次、0次三种情况）（6分） 设甲、乙需要进行第3次投篮为事件 ，则 。（7分） (2) 由题意可得 的所有可能取值为 ，（8分） ， ，（提示：此时有三种情况，①甲前2次投进1次，乙前2次投进0次或2次；②甲、乙前2次均未投进，第3次甲投进；③甲、乙前2次均投进1次，第3次甲未投进） ， 。（12分） 所以 的分布列为 所以 。（15分） 18. 【解题思路】 (1) 第一步：求导 易知 的定义域为 。 当 时，，则 。（2分） 第二步：研究 的单调性 由 ，得 ， 当 时，， 单调递减， 当 时，， 单调递增，（4分） 第三步：求 的最值 所以当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，无最大值。（易错： 没有最大值，但也需要说明）（6分） (2) 由 ，得 。 令 ，则 ，则 。（8分） ① 当 时，， 所以 在 上单调递减。（9分） ② 当 时，令 ， 则 ， 令 ，则 ， 当 时，，（11分） 所以当 时，， 所以 ，即 在 上单调递减。（12分） 因为 ，，所以存在唯一的 ，使得 ，故 ， ... ...
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