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课件网) 导数 5.1.1函数的变化率和导数的定义 h t o 问题：在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水 面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系：h(t) ＝－4.9t2＋2.8t＋11．如何描述运动员从起跳到入水的过程中运 动的快慢程度呢？ 一、平均速度和瞬时速度 在 0 ≤ t ≤0.2这段时间里， 在 1≤ t ≤1.5这段时间里， 思考1：如何求运动员从起跳到0.2秒，起跳后1秒到1.5秒这两段时间的 平均速度？ h t o h(高度的变化量) t(时间的变化量) 思考2：如何求运动员起跳后t1秒到t2秒这段时间的平均速度？ 一、平均速度和瞬时速度 h t o 运动员平均速度为0，但显然在此期间运动员并非静止状态，因此平均速度不能准确反映运动员在一段时间内的运动状态.故为了精确刻画运动状态，需要引入瞬时速度的概念，来描述物体在某一时刻的速度. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 一、平均速度和瞬时速度 思考3.瞬时速度与平均速度有什么关系？如何求运动员在t=1s时的瞬时 速度吗？ 平均速度 缩短时间段长度 瞬时速度v(t0) 计算区间[1+ t,1]和区间[1,1+ t]内的平均速度 当 t>0时，在区间[1,1+ t]内 当 t<0时，在区间[1+ t,1]内 一、平均速度和瞬时速度 △t<0时，在[ 1+△t，1 ]这段时间内 △t>0时，在[1，1+△t ]这段时间内 -0.01 0.01 -0.001 0.001 -0.0001 0.0001 -0.00001 0.00001 -0.000001 0.000001 …… …… 运动员在t=1附近时间段的平均速度表： -7.049 -7.0049 -7.00049 -7.000049 -7.0000049 -6.951 -6.9951 -6.99951 -6.999951 -6.9999951 一、平均速度和瞬时速度 当△t趋近于0时, 即无论t从小于1的一边, 还是从大于1的一边趋近于1时, 平均速度都趋近于一个确定的值–7. 从物理学的角度看，当时间间隔|△t|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t=1时的瞬时速度。 因此，运动员在t=1s时的瞬时速度 一、平均速度和瞬时速度 1. 平均速度：设物体的运动规律是s(t),物体在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均 速度为： 2. 瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度；当Δt无限趋 近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为 无限逼近 取极限 物体运动的平均速度 物体运动的瞬时速度 一、平均速度和瞬时速度 练一练1.如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相 应的平均速度是( ) A.4 B.4.1 C.0.41 D.3 2 3 4 B 5 一、平均速度和瞬时速度 练一练2.一个小球从5 m的高处自由下落，其位移y (单位: m)与时间t (单位: s) 之间的关系为 y(t)=－4.9t2 . 求t =1 s时小球的瞬时速度. 一、平均速度和瞬时速度 一、平均速度和瞬时速度 C 练一练4.火箭发射t s后，其高度(单位: m)为h(t)=0.9t2. 求： (1) 在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度； (2) 发射后第10 s时，火箭爬高的瞬时速度. 一、平均速度和瞬时速度 二、函数的平均变化率和瞬时变化率（导数） 类似地，运用上述思想我们可以定义函数y=f(x)的平均变化率和瞬时变化率: 1.函数f(x)从x1到x2的平均变化率 二、函数的平均变化率和瞬时变化率（导数） B 二、函数的平均变化率和瞬时变化率（导数） B 2. 函数在x0附近的平均变化率 二、函数的平均变化率和瞬时变化率（导数） 二、函数的平均变化率和瞬时变化率（导数） A 二、函数的平均变化率和瞬时变化率（导数） C 3. 导数的定义（瞬时变化率） 4. 对导数定义的理解 (1)瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称； (2)f′(x0)与 x的具体取值无关； 二、函数的平均变化率和瞬时变化率（导数） 4. 对导数定义的理解 二、函数的平均变化率和瞬时变化率（导数） (3)f ′(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同； 例如：函数f(x) ... ...
