2024-2025学年上海市金山中学高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市金山中学高一下学期期末考试数学试卷 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知非零实数，则下列命题中成立的是 ． A. B. C. D. 2.要得到函数的图象，只需将函数的图象( ) A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 3.设、、是半径为的圆上三点，若，则的最大值为( ) A. B. C. D. 4.已知各项均为正实数的数列，若对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得为的前项和，那么称为数列，记，称为的“和数列”，则下列命题中真命题的序号为( ) 存在等差数列为数列 存在等比数列为数列 若数列为严格增数列，则其“和数列”为严格增数列 若数列的“和数列”为严格增数列，则为增数列 A. B. C. D. 二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。 5.已知集合，则 ． 6.函数的最小正周期为 ． 7.若复数满足，其中为虚数单位，则 ． 8.不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 9.已知，，用表示为 ． 10.已知，则的值为 ． 11.已知向量、满足，且在上的数量投影为，则 ． 12.已知复数的实部为，且，若是关于的方程的根，则 ． 13.已知是等比数列，若分别是函数的两个零点，则 ． 14.已知，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为 ． 15.已知点是外接圆圆心，角所对的边分别为，且有，若，则实数的值为 ． 16.对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过的最大整数，为的前项和，则 ． 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知复数，为虚数单位，为实数． 若复数为纯虚数，求的值； 若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围． 18.本小题分 记公差大于零的等差数列的前项和为，已知是与的等比中项． 求数列的通项公式； 求数列的前项和． 19.本小题分 如图，某学校准备在宿舍楼前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似”冰淇淋”般的凉爽感，已知，线段，弓形花园上一点，其中，设． 将线段、的长度、分别用含有的代数式表示出来； 现准备在点处修建喷泉，求点与点距离的最大值以及对应的的值． 20.本小题分 如图，设、是平面内相交成的两条射线，分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． 仿射坐标系中，，以下两个结论若，则；若，则是否一定成立？不必说明理由 在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； 如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，分别为、中点，求的最大值． 21.本小题分 设，函数的定义域为若对满足的任意，均有，则称函数具有“性质”． 在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由； ； ； 已知，且函数具有性质，求实数的取值范围； 证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.解：由复数为纯虚数，得，解得． 因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 所以，解得， 即的取值范围为． 18.解：由已知，，即， 解得舍或， ． 由得，， ， 19.解：因为，， 所以，． 因为， 所以， 在中，由余弦定理易得， 因为，所以 当，即时， 取最大值取最大值． 20.解：成立，不成立． 若，则存在非零实数满足， 因此可得，即，所以成立， 若，可得， 则，因此不成立，即不成立 由，得，且， 所以， 则， 故， 因为与的夹角为， 则，解得； 依题意设，且， 因为为的中点，则， 因为为中点，同理可得 所以 由题意可知，， 则 在中，由余弦定理得，所以， 代入上式得 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以， 因为，则， 故当时 ... ...