周测3 空间向量的应用 (时间：75分钟 分值：100分) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1.设平面α的一个法向量为m=(2，-1，z)，平面β的一个法向量为n=(4，-2，-2)，若平面α⊥平面β，则实数z的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C 解析 因为平面α⊥平面β，所以m⊥n，即m·n=0，所以8+2-2z=0，解得z=5. 2.若直线l的一个方向向量为a=(2，1，m)，平面α的一个法向量为n=且l∥α，则实数m的值为( ) A.- B.- C.4 D. 答案 B 解析 因为l∥α，所以a⊥n，即a·n=2++2m=0，解得m=-. 3.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥AC，D为CC1的中点，AB=AC=AA1，则AB1，A1D所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2，则A(0，0，0)，B1(2，0，2)，A1(0，0，2)，D(0，2，1)， 所以=(2，0，2)=(0，2，-1)，设AB1，A1D所成的角为θ，则cos θ===. 4.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则原点O到平面ABC的距离是( ) A. B. C.2 D.3 答案 A 解析 ∵A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)， ∴=(-1，1，0)=(-1，0，1)， 设平面ABC的法向量为n=(a，b，c)， ∴∴令a=1，则n=(1，1，1)， 又=(1，0，0)，∴原点O到平面ABC的距离d===. 5.在矩形ABCD中，AB=1，BC=PA⊥平面ABCD，PA=1，则PC与平面ABCD所成的角是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案 A 解析 建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0，0，1)，C(10)， ∴=(1-1)， 易知平面ABCD的一个法向量为n=(0，0，1)， ∴|cosn〉|== ∴PC与平面ABCD所成的角为30°. 6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，G，E分别是CC1，AB的中点，P是四边形CC1D1D内(包括边界)一动点=若直线AP与平面EFG没有公共点，则线段AP的最小值为( ) A. B.4 C.5 D. 答案 D 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4，0，0)，E(4，2，0)，F(1，4，0)，G(0，4，2)=(-3，2，0)=(-4，2，2). 设平面EFG的法向量为u=(x，y，z)， 则即 令x=2，可得平面EFG的一个法向量为u=(2，3，1). 设P(0，m，n)(0≤m≤4，0≤n≤4)，则=(-4，m，n). 因为直线AP与平面EFG没有公共点，所以AP∥平面EFG，则⊥u， 所以-8+3m+n=0，即n=8-3m， 则≤m≤ AP=||= == 当m=时，AP取得最小值，最小值为=. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分) 7.已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(-1，3，1)，则下列结论正确的有( ) A.与是共线向量 B.与共线的单位向量是(1，1，0) C.与夹角的余弦值是- D.平面ABC的一个法向量是(1，-2，5) 答案 CD 解析 对于A=(2，1，0)=(-1，2，1)，不存在实数λ，使得=λ所以与不是共线向量，所以A错误； 对于B，因为=(2，1，0)，所以与共线的单位向量为或所以B错误； 对于C，向量=(2，1，0)=(-3，1，1)，所以cos==-所以C正确； 对于D，设平面ABC的法向量是n=(x，y，z)，因为=(2，1，0)=(-1，2，1)，所以即令x=1，则n=(1，-2，5)，所以D正确. 8.《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=AB=2，E，F分别为PD，PB的中点，则( ) A.EF⊥平面PAC B.AB∥平面EFC C.点F到直线CD的距离为 D.点A到平面EFC的距离为 答案 AD 解析 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 由题意可知，A(0，0，0)，B(2，0，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，E(0，1，1)，F(1，0，1)，D(0，2，0)， 所以=(1，-1，0)=(0，0，2)=(2，2，-2)=(2，1，-1). 因为·=0-0+0=0，所以⊥即EF⊥AP， 又·=2-2+0=0，所以⊥即EF⊥PC.又AP∩PC=P，AP，PC 平面 ... ...
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