第4章 三角形 复习课 复习目标 1.理解三角形的基本概念与边、角关系. 2.知道证明命题的依据,能用几何语言写出一个命题的证明过程. 3.知道全等图形的性质,会用几种不同的方法判定两个三角形全等. 4.知道等腰三角形、垂直平分线的性质,会用尺规作图. 重点 证明两个三角形全等,解决相关几何问题. 【体系构建】 【专题复习】 专题一：三角形的边角关系 例1 如果一个三角形的三边长都是自然数,且三边长之比是2∶3∶4,那么该三角形的周长不可能是 ( ) A.18 cm B.19 cm C.54 cm D.36 cm 变式训练 1.一个三角形的两边长分别为6和10,且第三边的长为偶数,符合条件的三角形有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.在三角形中,最多有 个锐角,至少有 个锐角,最多有 个钝角(或直角). 3.已知一个三角形两边长分别为2 cm和6 cm,则第三边的长可以是 cm.(写出一个符合条件的答案) 专题二：全等三角形的判定与性质 例2 如图,在△ABC中,AB=AC,F为BC延长线上一点,G为AC延长线上一点,FG∥AB.D,E分别是BF,AC上的点,DE是线段BF的垂直平分线. (1)证明:∠AEB=∠GFE. (2)证明:AE=CG. 变式训练 1.如图,△ABC与△BDE都是等腰三角形,AB=BC,BD=BE,∠BAC=∠BDE,连接AD,CE.求证:∠BAD=∠BCE. 2.如图,在△ABC中,D为边BC上一点,E为边BA上一点,且AE=CD,连接AD,F为AD的中点.连接EF并延长,交AC于点G,在FG上截取点H,使FH=FE,连接GD,DH,且HG=CG. (1)求证:△AEF≌△DHF. (2)求证:∠B=2∠GDC. 专题三：全等三角形的应用 例3 如图,公园有一条“Z”字形道路AB-BC-CD.其中AB∥CD,在E,M,F处各有一个小石凳,且BE=CF,M为BC的中点,连接EM,MF. (1)石凳M到石凳E,F的距离ME,MF是否相等 判断并说明理由. (2)E,F,M三点是否共线 请判断并证明. 变式训练 1.在生物实验课上,老师布置了“测量锥形瓶底面内径”的任务.小亮同学想到了以下这个方案:如图,用螺丝钉将两根小棒AD,BC的中点O固定,利用全等三角形的性质,只要测得C,D之间的距离,就可知道内径AB的长度.此方案中,判定△AOB和△DOC是全等三角形的依据是 ( ) A.边边边 B.边角边 C.角边角 D.角角边 2.如图,要测量河岸相对两点A,B间的距离,先从B点出发与AB成90°角方向,向前走25米到C点处立一根标杆,然后方向不变继续朝前走25米到点D处,在点D处转90°沿DE方向走17米,到达点E处,使点A,C,E在同一直线上,那么可知点A、点B之间的距离为 米. 专题四：等腰三角形 例4 如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线,AB=AC. (1)若△ABC的面积是20,且BC=4,求AD的长. (2)若∠CAD=20°,求∠ACE的度数. 变式训练 1.如图,在△ABC中,M为BC上一点,AB=AM=MC,∠B=50°,则∠C的度数为 ( ) A.25° B.30° C.35° D.40° 2.如图,已知P是射线ON上一动点,∠AON=40°,当∠A= 时,△AOP为等腰三角形. 专题五：线段的垂直平分线 例5 如图,在△ABC中,AB的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点E,且AC=15 cm,△BCE的周长等于25 cm. (1)求BC的长. (2)若∠A=36°,并且AB=AC.求证:BC=BE. 变式训练 1.如图,在△ABC中,BC边的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,连接CD.若CE=1,△ACD的周长为5,则△ABC的周长为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 2.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线BD与边BC的垂直平分线EF相交于点F,连接CF.若∠A=70°,∠ABD=25°,则∠ACF的度数是 . 参考答案 【专题复习】 专题一 例1 B 变式训练 1.D 2.3 2 1 3.答案不唯一,如5,6等 专题二 例2 证明:(1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB. 因为DE是线段BF的垂直平分线, 所以EB=EF,所以∠EBF=∠EFB. 因为∠ACB是△ECF的一个外角, 所以∠ACB=∠GEF+∠EFB. 因为∠ABC=∠ABE+∠EBF, 所以∠ABE=∠FEG. 因为AB∥FG,所以∠A=∠AGF, 所以180°-∠A-∠ABE=180°-∠AGF-∠FEG, ... ...
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