5.4 第1课时 角平分线的性质定理及逆定理 素养目标 1.掌握角平分线的性质定理及其逆定理的简单应用. 2.掌握作已知角的平分线的方法. 重点 角平分线的性质定理及其逆定理的应用. 【自主预习】 1.如图,∠AOB=50°,OC平分∠AOB,则∠AOC为多少度 2.如图,PM⊥OA,PM=7,当点P到OB的距离为多少时,OP为∠AOB的平分线 1.如图,OC平分∠AOB,在OC上取一点P,过点P作PQ⊥OB于点Q,若PQ=4 cm,则 点P到OA的距离为 ( ) A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm 2.如图,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,则下列结论错误的是 ( ) A.PC=PD B.∠CPD=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD 3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E,若BC=10,DE=4,则BD的长为 . 【合作探究】 知识点一：角平分线的性质定理 阅读课本本课时“思考”之前的内容,回答下列问题. 1.角平分线是一条 ,它把这个角分成两个相等的角. 2.通过折叠后,对应相等的线段有 = , = ,相等的角有∠ =∠ ,∠ =∠ . 3.P是∠AOB的平分线OC上的任意一点,PD,PE是 ;在这两个三角形中有 对应相等,所以△PDO≌△PEO,依据是 判定定理. 角平分线的性质定理:角的平分线上的点到角的两边的 相等. 1.在△ABC中,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB. (1)如图1,若∠ABC=60°,∠ACB=40°,求∠BDC的度数. (2)如图2,连接AD,过点D作DE⊥AB于点E,DE=1,AC=4,求△ADC的面积. 知识点二：角平分线的性质定理的逆定理 阅读课本本课时“思考”至“例1”的内容,回答下列问题. 1.点到直线的距离是指过这点向这条直线所作的 的长. 2.角的内部到角的两边距离相等的点有 个,这样的点都 上. 3.由PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E说明PD,PE就是点P到 ,同时 可以得出两个直角相等,结合题目中的隐含条件 ,根据 判定定理可得Rt△PDO≌Rt△PEO,得出结论. 角平分线的性质定理的逆定理:角的内部到角的两边 相等的点在角的 上. 2.如图,这是一个风筝骨架.为使风筝平衡,须使∠AOP=∠BOP.我们已知PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,那么PC和PD应满足 ,才能保证OP为∠AOB的平分线. 角平分线的性质定理与逆定理的综合 例 如图,在△ABC中,BP,CP分别是△ABC的外角的平分线.求证:∠1=∠2. ·学习小助手· (1)角的平分线性质的应用涉及角平分线上的点到角的两边的距离,因此每一个角需要构造两条垂线,所以过点P作PE AB,PG AC,PF BC. (2)由PE⊥AB,PF⊥BC得出: .由PG⊥AC,PF⊥BC得出: . 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.25°. 2.7. 自学检测 1.B 2.B 3.6 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.射线 2.PD PE OD OE AOC BOC DPO EPO 3.垂线段 两角一边 角角边 归纳总结 距离 对点训练 1.解:(1)因为BD平分∠ABC, 所以∠DBC=∠ABC=×60°=30°. 因为CD平分∠ACB, 所以∠DCB=∠ACB=×40°=20°, 所以∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB =180°-30°-20°=130°. (2)如图,过点D作DF⊥AC于点F,DH⊥BC于点H. 因为BD平分∠ABC,DE⊥AB,DH⊥BC, 所以DH=DE=1. 因为CD平分∠ACB,DF⊥AC,DH⊥BC, 所以DF=DH=1, 所以S△ADC=DF·AC=×1×4=2. 知识点二 1.垂线段 2.无数 在一条射线 3.角两边的距离 公共边 斜边、直角边 归纳总结 距离 平分线 对点训练 2.PC=PD 题型精讲 题型 例 (1)⊥ ⊥ ⊥ (2)PE=PF PF=PG 证明:如图,过点P作PE⊥AB于点E,PG⊥AC于点G,PF⊥BC于点F. 因为P在∠EBC的平分线上,PE⊥AB,PF⊥BC,所以PE=PF.同理可证PF=PG,所以PG=PE.又PE⊥AB,PG⊥AC,所以PA是∠BAC的平分线,所以∠1=∠2. ... ...
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