27.2.3 相似三角形应用举例 素养目标 1.会用相似三角形的知识,解决一些不能直接测量物体的长度和高度的实际问题. 2.能把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型,提高分析问题、解决问题的能力. ◎重点:利用相似三角形的相关知识解决实际问题. 【预习导学】 知识点一：利用太阳光(影长)测量物体的高度 认真阅读课本本课时“例4”,填空: 归纳总结 用标杆、太阳光下的影长求物体的高度,根据相似三角形的性质可得关系式:= . 温馨提示 不同时刻,物体的影长会发生变化,所以利用影长测量物体高度时,一定要在同一时刻测量所涉及的量. 知识点二：利用相似测量河的宽度 认真阅读课本本课时“例5”,解决下面的问题. 为测量河宽,构造了相似三角形,请画出所构造的图形. 知识点三：利用标杆等测量物体的高度 认真阅读课本本课时“例6”,从“图27.2-17”的(2)中抽象出解题所用的几何图形,并画出来. 【合作探究】 任务驱动一：利用太阳光(影长)测量物体的高度 1.数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB.测量和计算的部分步骤如下: ①如图,树与地面垂直,在地面上的点C处放置一块镜子,小明站在BC的延长线上,当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时,测得小明到镜子的距离CD=2米,小明的眼睛E到地面的距离ED=1.5米; ②将镜子从点C沿BC的延长线方向移动10米到点F处,小明移动到点H处时,小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A,这时测得小明到镜子的距离FH=3米; ③计算树的高度AB. 请根据测量的数据计算树的高度. 任务驱动二：利用相似测量河的宽度 2.为了保障市民出行方便,某市在流经该市的河流上架起一座桥.小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长.如图,该桥两侧河岸平行,他们在河的对岸选定一个目标作为点A,再在河岸的这一边选出点B和点C,分别在AB,AC的延长线上取点D,E,使得DE∥BC.经测量,BC=80米,DE=140米,且点E到河岸BC的距离为75米.已知AF⊥BC于点F,请你根据提供的数据帮助他们计算桥AF的长度. 任务驱动三：利用相似三角形测高 3.如图,利用标杆测旗杆的高度,当观测者的眼睛与标杆的顶端、旗杆的顶端“三点共线” 时(标杆与地面垂直),观测者到标杆的水平距离是2 m,到旗杆的水平距离是6 m,观测者的眼睛到地面的距离是1.5 m,标杆的高度是2.5 m,求旗杆的高度. 变式演练 如图,为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度,小红在操场上点C处直立高3 m的竹竿CD,然后退到点E处,此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合;小红又在点C1处直立高3 m的竹竿C1D1,然后退到点E1处,此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合.小红的眼睛离地面的高度EF=1.5 m,量得CE=2 m,EC1=8 m,C1E1=4 m,求电线杆AB的高度. 方法归纳交流 利用相似三角形知识解决实际问题的核心是构造 ,并利用相似三角形的对应边成比例进行计算. 参考答案 【预习导学】 知识点一 归纳总结 知识点二 答: 知识点三 答: 【合作探究】 任务驱动一 1.解:设AB=x米,BC=y米. ∵∠ABC=∠EDC=90°,∠ACB=∠ECD, ∴△ABC∽△EDC, ∴=, ∴=. ∵∠ABF=∠GHF=90°,∠AFB=∠GFH, ∴△ABF∽△GHF, ∴=, ∴=, ∴=, 解得y=20. 把y=20代入=中,得x=15, ∴树的高度AB为15米. 任务驱动二 2.解:如图,过点E作EG⊥BC于点G, ∵DE∥BC, ∴△ABC∽△ADE, ∴===, ∴=. ∵AF⊥BC,EG⊥BC, ∴∠CFA=∠CGE=90°. ∵∠ECG=∠ACF, ∴△ACF∽△ECG, ∴=,即=, 解得AF=100, ∴桥AF的长度为100米. 任务驱动三 3.解:过观测者的眼睛做旗杆的垂线,即作直角梯形的高. 根据题意得到图形(如图),则AB⊥BF,CD⊥BF,AB=1.5 m,CD=2.5 m,BD=2 m,BF=6 m. 过A作AM⊥EF,垂足为M,则AM⊥CD,垂足为N. ∵AB⊥BF,CD⊥BF,EF⊥BF, ∴四边形ABDN、ABFM是矩形, ∴DN=MF=AB=1.5 m,AN=BD=2 m,AM=BF=6 m, ∴CN=2.5-1.5=1 m. ∵CD⊥BF,EF ... ...
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