1.4 解直角三角形 素养目标 1.知道要确定一个直角三角形至少需要除直角外的两个元素,其中一个元素是边长,另一个元素可以是锐角,也可以是边长. 2.在实际问题中,利用三角函数知识和直角三角形中已知元素,求其他的元素. ◎重点::解直角三角形. 【预习导学】 知识点一：已知直角三角形的两边求解直角三角形 阅读教材本课时“想一想”之前的内容,回答下列问题. 1.由直角三角形中除直角外的两个已知元素,求出所有未知元素的过程,叫作解直角三角形. 2.当已知直角三角形的两条边时,解直角三角形常见类型及解法如下表.(已知Rt△ABC,∠C=90°) 已知条件 解法 两条边 两条直角边a和b c= ,由tan A= ,求∠A,∠B= 直角边a和斜边c b= ,由sin A= ,求∠A,∠B= 知识点二：已知直角三角形的一边一角(直角除外)求解直角三角形 阅读教材本课时“想一想”之后的内容,思考下列问题. 当已知直角三角形的一条边和一个角时,解直角三角形常见类型及解法如下表.(已知Rt△ABC,∠C=90°) 已知条件 解法 一条 边和 一个 锐角 斜边c和锐角∠A ∠B= ,a= ,b= 直角边a和锐角 ∠A ∠B= ,b= ,c= 归纳总结 从以上可发现:求解直角三角形,除已知直角外,至少需要 个条件,其中至少有一个条件是 ,另一个条件可以是一条边,也可以是一个锐角. 1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,则BC的长是( ) A.2 B.3 C.4 D.8 2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是BC边上的中线,BD=4,AD=2,则tan∠CAD的值是 ( ) A.2 B. C. D. 【合作探究】 任务驱动一：在△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=4,欲求∠A的度数,最适宜的做法是 ( ) A.计算tan A的值求出 B.计算sin A的值求出 C.计算cos A的值求出 D.先根据sin B求出∠B,再利用90°-∠B求出 变式训练 在Rt△ABC中,∠C=90°.若AB=2,BC=,则tan A的值为 ( ) A. B. C. D.2- 任务驱动二：在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,AB=7,则BC的长为 ( ) A.7sin 35° B. C.7cos 35° D.7tan 35° 任务驱动三：根据下列条件解直角三角形,其中∠C=90°. (1)Rt△ABC中,∠A=30°,c=6; (2)Rt△ABC中,a=24,c=24. 方法归纳交流 解直角三角形时要尽量利用原始数据,以防止“累积误差”.一般地,“有弦(斜边)用弦(正弦、余弦),无弦用切(正切),宁乘毋除,取原避中”是解直角三角形的原则,必要时,画图帮助分析. 任务驱动四：如图,∠ACB=90°,AB=13,AC=12,∠BCM=∠BAC,求sin∠BAC和点B到直线MC的距离. 任务驱动五：如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,∠A的平分线AD=,求∠B的度数及边BC、AB的长. 一副直角三角板按如图所示的方式放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长. 参考答案 【预习导学】 知识点一 2. 90°-∠A 90°-∠A 知识点二 90°-∠A c·sin A c·cos A 90°-∠A 两 边 对点自测 1.A 2.A 【合作探究】 任务驱动一 C 变式训练 C 任务驱动二 C 任务驱动三 解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,c=6, ∴sin 30°==,∴a=3,∴b=3. 又∵∠A+∠B=90°,∴∠B=60°. (2)∵a=24,c=24,根据勾股定理得b=24, ∴∠A=∠B=45°. 任务驱动四 解:如图,在Rt△ABC中,BC===5, sin∠BAC==, 作BE⊥MC,垂足是E, BE=BC·sin∠BCE, ∴BE=5×=. 任务驱动五 解:在Rt△ACD中,∵cos∠CAD===,∠CAD为锐角, ∴∠CAD=30°,∠BAD=∠CAD=30°,即∠CAB=60°,∴∠B=90°-∠CAB=30°. ∵sin B=,∴AB===16. 又∵cos B=,∴BC=AB·cos B=16·=8. 素养小测 解:如图,过点B作BM⊥FD于点M, 在△ACB中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=10, ∴∠ABC=30°,BC=AC×tan 60°=10. ∵AB∥ ... ...
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