1.5 三角函数的应用 素养目标 1.会把实际问题转化为数学问题,能够借助于计算器进行有关三角函数的计算,并能对结果的意义进行说明. 2.知道三角函数在解决问题过程中的作用,增强数学应用意识和解决问题的能力. ◎重点::三角函数在航海、测量、改造工程方面的应用. 【预习导学】 知识点一：利用方位角求距离———航海问题 阅读教材本课时“想一想”前面的内容,根据问题要求,作出解答. 请你根据题意画出船与小岛的方位关系,并给予说明.(并在图中标出已知条件) 知识点二：仰角与俯角问题 请你阅读教材本课时“想一想”,并回答下列相关问题. 什么是仰角 什么是俯角 在图1-14中,30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角 1.如图,一艘海轮位于灯塔P的东北方向,距离灯塔40海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处,则海轮行驶AB的路程为 ( ) A.(40+40)海里 B.80海里 C.(40+20)海里 D.80海里 2.如图,测得一商场自动扶梯的长AB为12米,自动扶梯与地面所成的角为α,则该自动扶梯到达的高度BC为 ( ) A.12tan α米 B.12sin α米 C.12cos α米 D. 米 【合作探究】 任务驱动一：如图,一条船上午8点在A处望见西南方向有一座灯塔B,此时测得船和灯塔相距36海里,船以每小时20海里的速度向南偏西24°的方向航行到C处,此时望见灯塔B在船的正北方向.(参考数据sin 24°≈0.4,cos 24°≈0.9) (1)求几点钟船到达C处. (2)当船到达C处时,求船和灯塔的距离. 任务驱动二：如图,某幢大楼顶部有广告牌CD,张老师身高MA为1.60米,他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°;接着他向大楼前进14米,站在点B处,测得广告牌顶端点C的仰角为45°.(取≈1.732,计算结果保留一位小数) (1)求这幢大楼的高DH. (2)求这块广告牌CD的高度. 方法归纳总结 利用直角三角形的边角关系解决实际生活问题的一般步骤: ①解析题意,根据已知条件画出它的平面或截面示意图; ②作辅助线构成直角三角形; ③根据已知条件利用直角三角形的边角关系求解未知元素; ④近似计算要按照题目中已知数据的精确度进行,结果按题目要求取近似值,注明单位. 任务驱动三：如图,兰兰站在河岸上的G点,看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来,此时,测得小船C的俯角是∠FDC=30°,若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米,BG=1米,BG平行于AC所在的直线,迎水坡的坡度i=4∶3,坡长AB=10米,求小船C到岸边的距离CA的长.(参考数据:≈1.73,结果精确到0.1 m) 参考答案 【预习导学】 知识点一 首先我们可将小岛A确定,货轮B在小岛A的南偏西55°的B处,C在B的正东方,且在A南偏东25°处,示意图如图所示. 知识点二 当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角.从高处观测低处时,视线与水平所夹的锐角称为俯角.30°的仰角指∠DAC,60°的仰角指∠DBC. 对点自测 1.A 2.B 【合作探究】 任务驱动一 解:(1)如图,延长CB与AD交于点E,∴∠AEB=90°. ∵∠BAE=45°,AB=36, ∴BE=AE=36. 根据题意得∠C=24°, sin 24°=,∴AC≈90,90÷20=4.5,所以12点30分到达C处. (2)在直角三角形ACE中,cos 24°=, 即cos 24°=,BC=45. 所以船到C处时,船和灯塔的距离是45海里. 任务驱动二 解:(1)在Rt△DME中,ME=AH=45米; 由tan 30°=,得DE=45×≈15×1.732=25.98米; 又因为EH=MA=1.6米, 因而大楼DH=DE+EH=25.98+1.6=27.58≈27.6米. 答:楼高DH为27.6米. (2)在Rt△CNE中,NE=45-14=31米, 由tan 45°=,得CE=NE=31米. 因而广告牌CD=CE-DE=31-25.98≈5.0米. 答:广告牌CD的高度为5.0米. 任务驱动三 解:如图,过点B作BE⊥AC于点E,延长DG交CA于点H,得Rt△ABE和矩形 BEHG.i==,AB=10(米), ∴BE=8(米),AE=6(米). ∵DG=1.5(米),BG=1(米), ∴DH=DG+GH=1.5+8=9.5( ... ...
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