2.3 确定二次函数的表达式 第1课时 导学案（含答案） 2025-2026学年北师大版初中数学九年级下册

2.3 确定二次函数的表达式 第1课时 素养目标 1.能用待定系数法求解经过任意两点中只含有两个未知系数的二次函数表达式. 2.能用待定系数法求解经过特殊点(顶点、抛物线与x轴交点)的二次函数的顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),及交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). ◎重点::用待定系数法求解二次函数的表达式. 【预习导学】 知识点一：求解过任意两点的二次函数的解析式 阅读教材本课时“做一做”及其前面的内容,回答下列问题. 求二次函数的解析式一般用　　　　,要根据不同条件,设出恰当的解析式,选择简单的解法,解出未知的系数,即可得二次函数解析式. 知识点二：求解过顶点或已知x轴上两交点的二次函数的解析式 已知二次函数的顶点时,用待定系数法要先设二次函数的顶点式:　　　　(a、h、k为常数,a≠0);已知二次函数与x轴的 两交点时,用待定系数法要先设二次函数的交点式:　　　　(a≠0,x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标). 1.若二次函数y=x2+bx+c的图象经过(-4,0)、(2,6),则这个二次函数的解析式为　　　　. 2.抛物线y=-x2+bx+c如图所示,则此抛物线的解析式为　　　　. 【合作探究】 任务驱动一：已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交.请你写出一个满足条件的二次函数解析式:　　　　. 任务驱动二：二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象过点A(-1,8)、B(2,-1),则这个二次函数的解析式为　　　　. 任务驱动三：某广场中心有各种音乐喷泉,其中一个喷水管喷水的最大高度为3米,此时距喷水管的水平距离为米(如图),求这个喷泉的函数关系式. 任务驱动四：如图,直线y=-x-2交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为A,且经过点B. (1)求该抛物线的解析式. (2)若点Cm,-在抛物线上,求m的值. 　如图,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(-1,0). (1)求抛物线对应的二次函数的表达式. (2)抛物线的顶点为D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,求BD的长. 参考答案 【预习导学】 知识点一 待定系数法 知识点二 y=a(x-h)2+k　y=a(x-x1)(x-x2) 对点自测 1.y=x2+3x-4 2.y=-x2+2x+3 【合作探究】 任务驱动一 答案不唯一,如:y=-x2+1,y=-2x2+2等 任务驱动二 y=x2-4x+3 任务驱动三 解:∵这个喷水管喷水的最大高度为3米,此时喷水水平距离为米, ∴此抛物线的顶点坐标为,3, 设抛物线的解析式为y=ax-2+3, 而抛物线还经过(0,0), ∴0=a2+3,∴a=-12, ∴抛物线的解析式为y=-12x-2+3. 任务驱动四 解:(1)由直线y=-x-2, 令x=0,则y=-2, ∴点B的坐标为(0,-2), 令y=0,则x=-2, ∴点A的坐标为(-2,0), 设抛物线解析式为y=a(x-h)2+k, ∵抛物线顶点为A,且经过点B, ∴y=a(x+2)2,∴-2=4a,解得a=-, ∴该抛物线解析式为y=-(x+2)2, 即y=-x2-2x-2. (2)∵点Cm,-在抛物线y=-(x+2)2上, ∴-(m+2)2=-,即(m+2)2=9, 解得m1=1,m2=-5. 素养小测 解:(1)∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(-1,0), ∴解得 ∴抛物线对应的二次函数的表达式为y=-x2+2x+3. (2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴点D的坐标为(1,4), ∴DE=4,OE=1. ∵B(-1,0),∴BO=1,∴BE=2, ∴BD==2. ... ...