*3.7 切线长定理 素养目标 1.知道切线长的概念. 2.知道切线长定理,并会利用它进行相关的计算与证明,进一步体会方程的思想. ◎重点::切线长定理及应用. 【预习导学】 知识点：切线长的概念 阅读教材本课时相关内容,并回答下列问题. 1.过圆外一点作圆的切线,这点和 之间的 叫作这点到圆的切线长. 2.切线和切线长有何区别 3.过圆外一点画圆的两条切线,它们的切线长 . 1.如图,PA,PB是☉O的切线,切点分别是A,B,若PB=5 cm,则PA= cm. 2.如图,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,∠B=50°,∠C=60°,则∠EDF= . 【合作探究】 任务驱动一：如图,在△MBC中,∠B=90°,∠C=60°,MB=2,点A在MB上,以AB为直径作☉O与MC相切于点D,求CD的长. 任务驱动二：如图,△ABC的内切圆☉O与AC,BC,AB分别相切于点D,E,F,且AC=8,BC=6,AB=10.求AD,CE,BF的长. 任务驱动三：在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆形的容器,俯视图如图所示,在俯视图中圆与两边的墙分别切于B,C两点.如果用带刻度的直尺测量圆形容器的直径,发现直尺的长度不够. (1)写出此图中相等的线段. (2)请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法.(写出主要解题过程) 任务驱动四：如图,P为☉O外一点,PA,PB为☉O的切线,A和B是切点,PA=10,∠P=50°,F是优弧AB上一点. (1)求∠AFB的度数. (2)若CD是☉O的切线,切点为E,求△PCD的周长. 1.如图,AB是☉O的直径,点C为☉O外一点,CA,CD是☉O的切线,其切点分别为A,D,连接BD,AD.若∠ACD=48°,则∠DBA的大小是 ( ) A.32° B.48° C.60° D.66° 2.如图,边长为1的正方形ABCD的边AB是☉O的直径,CF是☉O的切线,E为切点,点F在AD上,BE是☉O的弦,求△CDF的面积. 参考答案 【预习导学】 知识点 1.切点 线段 2.切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量. 3.相等 对点自测 1.5 2.55° 【合作探究】 任务驱动一 解:在Rt△BCM中,tan 60°==, ∴BC==2. ∵AB为☉O的直径,且AB⊥BC, ∴BC为☉O的切线,又CD也为☉O的切线, ∴CD=BC=2. 任务驱动二 解:由切线长定理可得AD=AF,CD=CE,BE=BF. 设AD=AF=x, 则CD=CE=8-x,BE=BF=10-x. 由CE+BE=BC,可得(8-x)+(10-x)=6, 解得x=6, ∴AD=6,CE=2,BF=4. 任务驱动三 解:(1)根据切线长定理,知AB=AC. (2)如图,连接OB,OA. 根据切线长定理,得∠OAB=60°. 在直角三角形AOB中,OB=AB, 则只需测得AB的长,即可求得圆的直径. 任务驱动四 解:(1)如图,连接OA,OB. ∵PA,PB为☉O的切线, ∴∠PAO=∠PBO=90°. ∵∠P=50°, ∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°, ∴∠AFB=65°. (2)∵CD是☉O的切线,∴CA=CE,DB=DE, ∴AC+BD=CD, △PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+AC+BD=PA+PB=20. 素养小测 1.D 2.解:设AF=x. ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠DAB=90°, ∴DA⊥AB, ∴AD是☉O的切线. ∵CF是☉O的切线,E为切点, ∴EF=AF=x, ∴DF=1-x. ∵CB⊥AB, ∴CB为☉O的切线, ∴CB=CE, ∴CF=CE+EF=CB+EF=1+x. ∴在Rt△CDF中,由勾股定理得到CF2=CD2+DF2, 即(1+x)2=1+(1-x)2, 解得x=, ∴DF=1-x=, ∴S△CDF=×1×=. ... ...
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