1.5.2 点到直线的距离 课件（19页）

1.5.2 点到直线的距离 1.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用. 2.理解两条平行线间的距离公式的推导，会求两条平行直线间的距离. 如图，在铁路的附近有一大型仓库，现要修建一公路与之连接起来，那么怎样设计能使公路最短？ P到直线l的距离是从P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. 问题2:点P0(x0，y0)到 x 轴, y 轴的距离？ 问题1:什么是点到直线的距离？ 点P0(x0，y0)到直线 x =x1, 直线 y =y1的距离？ P Q l x0 y0 |y0| |x0| x y P0 (x0,y0) O |x1-x0| |y1-y0| 问题3:能否推导出一般化的公式来求点到直线的距离呢？已知点P0(x0，y0)，直线l: Ax+By+C=0, 如何求点P0到直线l的距离？ x y O Q P 直线l的方程 直线 l 的方程 直线PQ的方程 交点 点P的坐标 直线PQ的斜率 点P的坐标 点Q的坐标 两点间距离公式 思路简单运算繁琐 直线l的斜率 l⊥PQ 点P、Q之间的距离|PQ |（ P到l 的距离） l 思路一：直接法 思路二：间接法（等面积法） x y O S R l Q P 求出|PR| 求出|PS| 利用勾股定理求出|RS| 面积法求出|PQ| 求出点R的坐标 求出点S的坐标 x y O S R l Q P 知识归纳 平面内一点P(x0，y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式： 注意：1.用此公式时直线方程必须先化成一般式； 2.此公式是在A≠0、B≠0的前提下推导的； 3.如果A=0或B=0，此公式也成立. 例1 求点到下列各直线的距离： (1)????=34????+14； (2)y=6； (3)x=4. ? 解：(1)直线方程????=34????+14化为一般式为3?????4????+1=0，由点到直线的距离公式可得 ????=3×3?4×?2+132+?42=185 . (2)∵直线????=6与轴垂直，∴点到直线????=6的距离????=?2?6=8 . (3)∵直线????=4与????轴垂直，∴点????到直线????=4的距离????=3?4=1 . ? 归纳总结 点到直线的距离的求解方法： (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|. 例2 已知点P(2，－1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程. 解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)， 即kx－y－2k－1＝0， 则d=?2k?1????2+(?1)2=2，解得k＝34， 所以直线l的方程为3x－4y－10＝0. 故直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0. ? 问题4:已知两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0，如何求l1，l2间的距离？ 定义：两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. y x O l2 l1 Q P 思路：求两条平行直线间的距离可转化为点到直线的距离． 两平行线间的距离处处相等 两条平行直线间的距离 点到直线的距离 转化 y O x l1 l2 P Q 在直线l1上任取一点P (x0 ， y0)，点P(x0， y0)到直线Ax+By+C2=0的距离就是这两条平行直线间的距离，即 注意：(1)把直线方程化为直线的一般式方程; (2)两条直线方程中x，y的系数必须分别相等. 两平行线间的距离公式 例3 求下列各对平行直线间的距离： (1)l1:3x+4y-1=0, l2:3x+4y+3=0; (2)l1:y=3x+2, l2:y=3x-3; (3)l1:x-2y-1=0, l2:2x-4y+3=0. 解：(1)根据两条平行直线间的距离公式，得 即l1与l2间的距离为 根据两条平行直线间的距离公式，得 即l1与l2间的距离为 (2)将所给直线方程化为一般式，得l1：3x-y+2=0，l2：3x-y-3=0. 根据两条平行直线间的距离公式，得 即l1与l2间的距离为 (3)将直线l2的方程化简，得 在解题中需要注意什么？ 注意：① 直线方程要化成一般式； ② 两直线方程中 x，y 的系数要相同． 例3 求下列各对平行直线间 ... ...