第十章 第65讲 全概率公式及应用（课件 学案 练习）2026届高中数学人教A版（2019）一轮复习

第65讲　全概率公式及应用 ● 课前基础巩固 【对点演练】 1.0.65　[解析] 设A1为“第一天选择一餐厅就餐”,B1为“第一天选择二餐厅就餐”,A2为“第二天选择一餐厅就餐”,则P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.7,由全概率公式可知P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.7=0.65. 2.86.4%　[解析] 用A表示生产线初始状态良好,B表示第一件产品为合格品,则P(A)=80%,P(B|A)=95%,P(B|)=60%,所以P(A|B)= = ≈86.4%. 3.0.25　[解析] 设事件Ai=“第i天去2楼阅读”,事件Bi=“第i天去3楼阅读”,i=1,2,则P(A1)=P(B1)=0.5,P(B2|A1)=1-0.7=0.3,P(B2|B1)=1-0.8=0.2,所以P(B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.5×0.3+0.5×0.2=0.25. 4.　[解析] 分为第一位顾客中奖和没中奖两种情况,所以第二位顾客中奖的概率为×+×=. 5.0.323　[解析] 设事件A=“呈阳性反应”,事件B=“患有此种疾病”,则P(A)=0.5%×95%+99.5%×1%=1.47%,所以P(B|A)==≈0.323,则化验结果为阳性,此人确实患有此病的概率约为0.323. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] 根据全概率公式计算即可得解. (1)B　(2)B　[解析] (1)因为P(A)=0.5,所以P()=1-0.5=0.5,所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.5×P(B|A)+0.5×0.2=0.3,解得P(B|A)=0.4.故选B. (2)由题意可得P(|B)=1-P(A|B)=,P(|)=1-P(A|)=,所以P()=P()P(|)+P(B)P(|B)=[1-P(B)]+P(B)=,解得P(B)=.故选B. 变式题　(1)　(2)　[解析] (1)因为P(A)=,所以P()=,由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=. (2)由题意得P(A2|A1)=3P(A1)=3×=,P(A2|)=,则P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=×+×=,则P(A3|A2)=3P(A2)=3×=,又P(A3|)=,所以P(A3)=P(A2)P(A3|A2)+P()P(A3|)=×+×=. 例2　[思路点拨] (1)分别考虑从甲盒中取出两个白球和一白一红的情况,利用全概率公式计算即可.(2)任取一个零部件,来源有甲、乙、丙三种可能,考虑来自各厂的概率,利用全概率公式求解. (1)　(2)C　[解析] (1)记“从乙盒中取出的是红球”为事件B,“从甲盒中任取2个球”为事件A,事件A1为“从甲盒中任取2个球均为白球”,事件A2为“从甲盒中任取2个球为一白一红”,A=A1∪A2,且A1,A2互斥,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=×+×=. (2)根据题意,设任取一个零部件,来自甲、乙、丙三厂的事件分别为A,B,C,设任取一个零部件为次品为事件D,则P(A)==,P(B)=,P(C)=,P(D|A)=,P(D|B)=,P(D|C)=,所以P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=×+×+×=0.07,故选C. 变式题　(1)B　(2)0.825　[解析] (1)设A=“发送的信号为0”, B=“接收的信号为0”,则=“发送的信号为1”, =“接收的信号为1”,则P(A)=0.5,P()=0.5,P(B|A)=0.9,P(|A)=0.1,P(B|)=0.05,P(|)=0.95,所以接收的信号为0的概率P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.5×0.9+0.5×0.05=0.475,所以接收的信号为1的概率P()=1-P(B)=1-0.475=0.525.故选B. (2)设事件E=“小明与第一代传播者接触”,事件F=“小明与第二代传播者接触”,事件G=“小明与第三代传播者接触”,事件D=“小明被感染”,则P(E)=0.5,P(F)=0.25,P(G)=0.25,P(D|E)=0.9,P(D|F)=0.8,P(D|G)=0.7,所以P(D)=P(D|E)P(E)+P(D|F)P(F)+P(D|G)P(G)=0.9×0.5+0.8×0.25+0.7×0.25=0.825,所以所求概率为0.825. 例3　[思路点拨] (1)根据题意,由贝叶斯公式代入计算,即可得到结果.(2)利用全概率公式求得取到一件产品为正品的概率,再根据贝叶斯公式求解. (1)C　(2)丙　[解析] (1)记“视频是‘AI’合成的”为事件A,记“鉴定结果为‘AI’”为事件B,则P(A)=0.001,P()=0.999,P(B|A)=0.98,P(B|)=0.04,由贝叶斯公式得P(A|B)== ≈0.024,故选C. (2)取到一件产品为正品的概率为0.95×+0.9×+0.8×=0.86,则它是由甲厂生产的概率为=,它是由乙厂生产的概率为=,它是由丙厂生产的概率为=,因 ... ...