1.3 空间向量及其运算的坐标表示 题型01 空间向量的坐标运算 3 题型02 共线共面问题 5 题型03 垂直问题 7 题型04 模长问题 10 题型05 夹角问题 12 知识点1： 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴统称坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面． 2．空间一点M的坐标用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标． 知识点2： 空间向量的坐标运算 1．a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)． 2．a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)． 3．a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3． 4．a∥b a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)． 5．a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0． 6．cos〈a,b〉＝． 知识点3： 空间向量的模长 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝． 1．空间向量的坐标求解． (1) 设i、j、k为两两垂直的单位向量． (2) 若，则叫做向量的坐标． 2．空间向量数量积的求解． (1) 设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ． (2) 若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2． (3) 根据已知条件，准确选择上述两种方法，可简化计算． 3．空间向量模长的求解． (1) |a|＝． (2) 若a＝(x，y，z)，则|a|＝． 4．空间向量垂直的求解． a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0． 5．空间向量法求解异面直线的夹角． (1) 建立空间直角坐标系． (2) 用坐标表示两异面直线的方向向量． (3) 由向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值． (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 题型01 空间向量的坐标运算 （2025春 杨浦区期中）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，如图建系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标为 ． 【答案】（﹣4，3，2）． 【分析】根据空间向量的坐标表示可得． 【解答】解：由题意，故AD＝4，AB＝3，BB1＝3， 故C1（0，3，3），A（4，0，0）， 故， 故答案为：（﹣4，3，2）． 【变式练1】（2024秋 杭州校级期末）空间一点P在xOy平面上的射影为M（2，4，0），在xOz平面上的射影为N（2，0，7），则P在yOz平面上的射影Q的坐标为（ ） A．（2，4，7） B．（0，0，7） C．（0，4，7） D．（0，2，7） 【答案】C 【分析】根据射影的概念，可得答案． 【解答】解：点P在xOy平面上的射影为M（2，4，0），在xOz平面上的射影为N（2，0，7），则点P的坐标为（2，4，7）， 则点P在yOz平面上的射影Q的坐标为（0，4，7）． 故选：C． 【变式练2】（2025春 凉州区月考）已知向量，则（ ） A．（﹣5，1，﹣2） B．（5，﹣1，2） C．（﹣8，1，﹣3） D．（8，﹣1，3） 【答案】D 【分析】由空间向量的坐标运算求解即可． 【解答】解：因为，所以， 所以． 故选：D． 【变式练3】（2025 宿迁一模）若，，则等于（ ） A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．7 【答案】A 【分析】先求出，，再利用空间向量的数量积运算求解即可． 【解答】解：∵，， ∴（1，﹣2，0），（﹣3，1，2）， ∴3﹣2+0＝﹣5， 故选：A． 题型02 共线共面问题 （2025春 南京校级期中）已知向量（1，a，﹣2），（﹣3，6，b），若A，B，C三点共线，则a﹣b＝ ． 【答案】﹣8． 【分析】直接利用向量的共线求出结果． 【解答】解：由于向量（1，a，﹣2），（﹣3，6，b），所以，解得a＝﹣2，b＝6， 所以a﹣b＝﹣8． 故答案为：﹣8． 【变式练1】（2025春 秀屿区校级期中）已知A（1，3，2），B（﹣1，4，1），C（5，y，z），若，则2y﹣z＝（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【答案】A 【分析】由题意可以先求出，再由它们平行可以 ... ...
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