3.2 双曲线 题型01 双曲线的定义 4 题型02 双曲线的标准方程 7 题型03 双曲线的几何性质 9 题型04 双曲线的离心率 11 题型05 直线与双曲线 14 知识点1： 双曲线的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． 2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 3．焦点：两个定点F1，F2． 4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|． 知识点2： 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 知识点3： 双曲线的性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 知识点4： 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为． 知识点5： 双曲线的离心率 1．离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝． 2．等轴双曲线 离心率e＝ 两条渐近线y＝±x相互垂直． 知识点6： 直线与双曲线 1．将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程． 2．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线． 3．当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定． 1．双曲线的定义． (1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离． (2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用． 2．双曲线的标准方程． (1)用待定系数法求双曲线的标准方程：若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解． (2)当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线． 3．由双曲线的标准方程研究几何性质． (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． 4．由双曲线的性质求标准方程． (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的技巧:渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 5．双曲线离心率的求解． (1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解． (2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解． 6．直线与双曲线． (1)位置关系的判定方法：代数法(注意二次项系数为0的情况)． (2)弦长公式：设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|． 题型01 双曲线的定义 （2025春 河南月考）双曲线上的点A到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（ ） A．9 B．7 C．9或29 D．7或19 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义来求解点A到左焦点的距离． 【解答】解：对于双曲线，可得a＝5． 设双曲线的左右焦点分别为F1，F2， 因为|AF2|＝19． 根据双曲线的定义||AF1|﹣|AF2||＝2a＝10，则有||AF1|﹣19|＝10． 可得|AF1|﹣19＝10或|AF1|﹣19＝﹣10． 当|AF1|﹣19＝10时，|AF1|＝10+19＝29； 当|AF1|﹣19＝﹣10时，AF1＝﹣10+19＝9． 所以点A到左焦点的距离为9或29． 故选：C． 【变式练1】（2025春 五华区校级期中）已知F1，F2是平面内两个不同的定点，则“||MF1|﹣|MF2||为定值”是“动点M的 ... ...
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