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课件网) 第4章 指数函数与对数函数 4.3 对数 人教A版2019高中数学必修第一册 对数的概念 ①对数的定义：通过指数运算，我们能从 中算出经过t年后B景区的人数 是2011年的y倍.反之，如果想知道多少年后游客人次是2001年的2倍、3倍、… 该怎么做？ 上述问题就是从 中分别求出t，即已知底数 和幂的值，求指数. 一般地，如果 ，那么 叫做以 为底 的对数. 记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数. 例如，因为42=16，那么2就是以4为底16的对数，记作 因为34=81，所以4就是以3为底81的对数，记作 对数的概念 【问题】为什么规定 【1】如果 ，则会出现N为某些数值时， 不存在的情况，比如，假设 存在，设 ，则 ，无解. 【2】如果 ，且 ，则 不存在；若 ，且 ，则 有无数个值，不能确定.为此，规定 且 . 【3】如果 ，且 ，则 不存在；若 ，且 ，则 有无数个值，不能确定.为了避免 不存在或者不唯一确定的 情况，规定 . 对数的概念 ②两种特殊对数 通常，我们把以10为底的对数叫做常用对数，并且赋予它特殊的数学符号， 即 ： 另外，在科技、经济、社会中经常使用以无理数e=2.71828…为底数的对数， 以e为底的对数叫做自然对数，也有它特殊的符号，即 . 对数的基本性质和与指数的关系. 【1】 根据对数的定义，可以得到对数和指数的关系： 当 时， 【2】 对数的基本性质： ① 负数和0没有对数 ② ③ 证明：① 由 ，得 .当 时， 即负数和0没有对数. ② 设 ， ，则 ，即 设 ， ，则 ，即 【1】把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. 【解】(1) 对数的基本性质和与指数的关系. 【规律总结】 （1）指数式和对数式的关系 指数式 和对数式 是同一种数量关系的不同表达形式（如下表）. （2）对数恒等式 底数 指数 幂 底数 对数 真数 【1】求下列各式的值. 【解】 对数的运算 【探究】设 ，因为 ，所以 根据对数和指数之间的关系可得： 这样，我们就得到了对数的一个运算性质： 同样的，还有： 前提 对数的运算 【对数运算性质的理解】 【1】逆向应用对数运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简. 【2】对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式 才成立.如 是存在的，但 与 均不存 在， 所以不能写成 【3】对数的运算性质(1)可以推广到若干个正因数积的对数，即以下式子成立： 对数的运算 【对数运算性质的推广】 【1】 【2】 【3】 【1】求下列函数的定义域和值域. 【解】(1) (2) 【2】利用 表示 . 【解】 对数换底公式 【定义】设 ，则 ，于是有 根据对数运算性质(3)有： ，即： 这个式子叫做对数的换底公式，简称为换底公式. ★ 换底公式的意义：把不同底数问题转化为同底数问题，也可以反过来用 ★ 换底公式的条件：公式中每一个对数式都有意义 ★ 换底公式换的底：依据具体问题需要而变 【1】求下列各式的值. 【解】 THANKS “ ” ... ...
