中小学教育资源及组卷应用平台 二次函数多结论问题 第一部分 基础知识储备 二次函数 的图像与系数a，b，c之间的关系： 1.抛物线的开口方向及开口大小由a决定 (1)a>0 开口向上;(2)a<0 开口向下;(3)|a|越大开口越小,|a|越小开口越大. 2. a、b共同决定对称轴(二次函数的对称轴为：直线 (1)对称轴为y轴 b=0; (2)对称轴在y轴左侧 a、b同号(ab>0); (3)对称轴在y轴右侧 a、b异号(ab<0) ,简称:“左同右异”; (4)若题目中已知对称轴，则利用 可直接求出a、b之间的数量关系. 3. c决定抛物线与y轴的交点 (1)c=0 抛物线经过原点;(2)c>0 与y轴交于正半轴;(3)c<0 与y轴交于负半轴. 决定抛物线与x轴的交点个数 有一个交点(顶点)； 有两个交点； >无交点. 5.寻找a、b、c之间数量关系或者不等关系利用取值法 (1)取x=1,则y=a+b+c;(2)取x=-1,则y=a-b+c; (3)取x=2,则y=4a+2b+c;(4)取x=-2,则y=4a-2b+c; (5)取x=3,则y=9a+3b+c;(6)取x=-3,则y=9a-3b+c; (7)取 则 (8)取 则 6. a、b之间的关系，a、b之间的数量关系或者不等关系通常利用对称轴 的具体位置确定. (1)若对称轴为直线x=1，则 即2a+b=0; (2)若对称轴为直线x=-1，则 即2a-b=0; (3)对称轴为其他具体确定的数，做法类似； (4)若对称轴不确定，能确定范围，比如对称轴在l和2之间，开口向上，则 则可得到2a+b<0,或者4a+b>0;开口向下,则 则可得到2a+b>0,或者4a+b<0. 7. a与c、b与c之间的关系 a与c、b与c之间的关系，通常情况下是通过取值得到a、b、c之间的数量或者不等关系，然后利用对称轴找到a、b之间的数量关系，其次消元求解，具体方法为：组合消元. 8.单个字母的取值范围 若题目中出现一个字母的取值范围，一般题目会直接或者间接告诉其中一个字母的取值范围，利用对称轴和取值构造两个等式消元. 如已知二次函数与y轴交点在2和3之间，对称轴为x=-1，与x交点为(2，0)，求a的取值范围. 二次函数与y轴交点在2和3之间，可得：20;②a+b+c=2;③2a-b=0;④9a+3b+c=0;⑤b <4ac;⑥(a+c) -b <0;⑦2c<3b;⑧b -4ac=-8a;⑨a+b>m(am+b)(m≠1);⑩若方程 有两个根，则这两个根的和为2.其中正确的结论是 【解答】选项①：∵抛物线开口向下，与y轴交于y轴正半轴， ，∵抛物线对称轴为直线x= 故①错误； 选项②：由图像可得：当x=1时，y=a+b+c=2,故②正确； 选项③：∵抛物线对称轴为直线 故③错误； 选项④：∵抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点在-1和0之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在2和3之间,∴当x=3时,y=9a+3b+c<0, ... ...
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