2025-2026学年上海市浦东新区洋泾中学高二（上）开学数学试卷 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知点，在直线上，直线平面，则“直线平面”是“点，到平面的距离相等”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.已知向量，，，则满足的的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.已知函数的图象经过点，若在上没有零点，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 4.设数列满足，则数列的前项和为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共50分。 5.设，则 _____． 6.弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为 ． 7.如图，的斜二测画法直观图为等腰直角三角形，且斜边，则在原平面图形中，点到的距离为_____． 8.等差数列是递增数列，若，，则通项 _____． 9.已知向量，向量，则在上的投影向量是_____注：本题答案用坐标表示． 10.已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为_____． 11.已知数列中，，，且，则数列通项公式 _____． 12.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一正八面体由八个等边三角形构成，也可以看作由上、下两个正方锥体黏合而成，每个正方锥体由四个三角形与一个正方形组成如图，在正八面体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是_____． 13.在中，内角、、所对的边分别为，则当取得最大值时，_____． 14.在中，，，，是的外心，若，其中，，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为_____． 三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点． 证明：平面； 求直线与直线所成的角的大小． 16.本小题分 已知平面向量，且求： 的值； 向量与夹角的余弦值． 17.本小题分 设，函数的表达式为． 若，求的单调增区间； 若，设的内角，，的对边分别为，，，，且，求的面积． 18.本小题分 在某地滨江公园建造一个四边形的露营基地，如图所示为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边，，，修建观赏步道，对角线修建隔离防护栏，其中米，米，． 如果烧烤区是一个占地面积为平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？ 考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，求满足上述条件时的长度． 19.本小题分 对于数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”已知为数列的“接近数列”，且． 若是正整数，求，，，的值； 若是正整数，是否存在是正整数，使得，如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由； 若为无穷等差数列，公差为，求证：数列为等差数列的充要条件是． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.证明：因为点，分别为棱，的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 设正方体棱长为，， 所以， 所以三角形是边长为的等边三角形， 所以直线与直线所成的角的大小为， 因为， 所以直线与直线所成的角的大小为． 16.已知平面向量，且， 则， 可得； 因， ， 设向量与的夹角为， 根据两向量的夹角公式可得． 17.由题意可得， 令，可得， 可得的单调增区间为； 由题意可得， 由于，可得， 则可得或，可得或， 因为， 可得，可得， 可得， 可得， 故， 可得． 18.解：在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区， 边，，，修建观赏步道，对角线修建隔离防护栏，其中米，米，， 根据三角形的面积公式可得，解得， 由是钝角，得， 根据余弦定理可得 ... ...
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