二项式定理 基础性 1．(1－2x)5的展开式中，x3的系数为( ) A．－160 B．－80 C．80 D．160 解析：B (1－2x)5的展开式的通项是Tk＋1＝C15－k·(－2x)k＝(－2)kCxk(k＝0，1，2，3，4，5)．由题意，k＝3，因此，x3的系数是(－2)3C＝－80.故选B. 2．在(x＋y)20的展开式中，系数为有理数的项共有( ) A．4项 B．6项 C．8项 D．10项 解析：B 因为Tk＋1＝Cx20－k(y)k＝C()kx20－kyk(0≤k≤20)，要使系数为有理数，则k必为4的倍数，所以k可为0，4，8，12，16，20，共6种，故系数为有理数的项有6项． 3．(2－x)(1＋x)5的展开式中含x2项的系数为( ) A．10 B．15 C．20 D．25 解析：B (1＋x)5的展开式的通项为Tk＋1＝Cxk，k∈N，k≤5，则(2－x)(1＋x)5的展开式中含x2的项是2Cx2＋(－x)Cx1＝15x2，所以(2－x)(1＋x)5的展开式中含x2项的系数为15.故选B. 4．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是( ) A．60 B．80 C．84 D．120 解析：D 展开式中x2的系数为C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝120.故选D. 5．(多选)已知二项展开式(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，n∈N*，则下列说法正确的是( ) A．二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数一定相等 B．二项展开式中，当k<时，C随k的增大而减小；当k>时，C随k的增大而增大 C．二项展开式中，奇数项的二项式系数的和一定等于偶数项的二项式系数的和 D．二项展开式中，第k项的通项公式Tk＝Can－kbk，k＝1，2，3，…，n 解析：AC 对于A，由组合数性质可得C＝C(0≤k≤n)，A正确； 对于B，当k<时，C随k的增大而增大，当k>时，C随k的增大而减小，B错误； 对于C，奇数项的二项式系数之和＝偶数项的二项式系数之和＝2n－1，C正确； 对于D，第k＋1项的通项公式Tk＋1＝Can－kbk，k＝1，2，3，…，n，D错误．故选AC. 6．(多选)(2024·辽宁辽阳模拟)若(2x－)n展开式的二项式系数之和为64，则下列结论正确的是( ) A．该展开式中共有6项 B．各项系数之和为1 C．常数项为－60 D．只有第4项的二项式系数最大 解析：BD 因为二项式系数之和为64，即有2n＝64，所以n＝6，则该展开式中共有7项，A错误； 令x＝1，得该展开式的各项系数之和为1，B正确； 通项公式为Tk＋1＝C(2x)6－k(－)k＝(－1)kC·26－k·x6－k，令6－k＝0，得k＝4，T5＝(－1)4×C×22＝60，C错误； 二项式系数最大的是C，它是第4项的二项式系数，D正确．故选BD. 7．(多选)若x8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8，其中a0，a1，a2，…，a8为实数，则( ) A．a0＝1 B．a6＝56 C．a1＋a3＋a5＋a7＝128 D．a2＋a4＋a6＋a8＝128 解析：AC 令t＝x－1，则原式转化为(t＋1)8＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a8t8. 对于A，令t＝0，得a0＝1，A正确； 对于B，由二项式定理得a6＝C＝28，B错误； 对于C、D，令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝28，令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a8＝0， 所以a1＋a3＋a5＋a7＝a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝27＝128， 所以a2＋a4＋a6＋a8＝127，C正确，D错误．故选AC. 8．(多选)若(3x－2)2025＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2025x2025(x∈R)，则( ) A．a0＝22025 B．a0＋a2＋a4＋…＋a2024＝ C．a1＋a3＋a5＋…＋a2025＝ D．＋＋＋…＋＝22025－1 解析：BD 对于A，当x＝0时，a0＝(－2)2025＝－22025，A错误； 对于B、C，当x＝1时，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2025＝12025＝1， 当x＝－1时，a0－a1＋a2－a3＋…＋a2024－a2025＝－52025， 所以a0＋a2＋a4＋…＋a2024＝，a1＋a3＋a5＋…＋a2025＝，B正确，C错误； 对于D，当x＝时，(3×－2)2025＝a0＋＋＋…＋， 所以＋＋＋…＋＝(－1)2025－a0＝22025－1，D正确．故选BD. 综合性 9．(1－x)5(1＋x＋x2)5 ... ...
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