5.1 方程 讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册

2025-2026学年人教版数学七年级上册 第五章 一元一次方程 5.1 方程 （讲义） 姓名： 班级： 学习目标 理解方程的概念，能识别方程。 理解方程的解的含义，能判断一个数是不是某个方程的解。 能根据简单的实际问题中的等量关系列出方程。 初步感受方程思想在解决实际问题中的作用。 知识点梳理 知识点一：方程的概念 在小学阶段，我们已经接触过一些用字母表示数的例子。现在，我们来学习一种重要的数学工具———方程。 引入： 我们来看一个问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70千米/小时，卡车的行驶速度是60千米/小时，客车比卡车早1小时经过B地。A，B两地间的路程是多少？ 如果我们用算术方法解决这个问题，可能会有些繁琐。但如果我们设A，B两地间的路程是x千米，那么客车从A地到B地所用的时间就是x除以70小时，卡车所用的时间就是x除以60小时。根据“客车比卡车早1小时经过B地”，我们可以得到一个关系：卡车所用时间减去客车所用时间等于1小时。也就是： x除以60减去x除以70等于1。 像这样，我们把所要解决的问题中的未知数用字母表示，根据问题中的相等关系列出含有未知数的等式，这就是我们要学习的方程。 方程的定义： 方程：含有未知数的等式叫做方程。 关键词解析： 含有未知数： 方程中必须有我们不知道的数，通常用字母x, y, z等来表示，这些字母叫做未知数。 等式： 方程必须是一个等式，即等号两边的表达式的值相等。 例如： 3x + 5 = 14 （含有未知数x，且是等式，所以是方程） 2y - 7 = 9 （含有未知数y，且是等式，所以是方程） x - 4 = 0 （含有未知数x，且是等式，所以是方程） 5 + 8 = 13 （虽然是等式，但不含有未知数，所以不是方程） 3a - 2 （虽然含有未知数a，但不是等式，所以不是方程） 知识点二：方程的解 方程的解的定义： 当我们列出方程后，接下来就是要找出未知数取什么值时，才能使方程左右两边相等。 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 求方程的解的过程叫做解方程。 例如： 对于方程 x + 3 = 5， 当x = 2时，左边 = 2 + 3 = 5，右边 = 5，左边 = 右边。 所以，x = 2是方程x + 3 = 5的解。 检验一个数是不是方程的解的方法： 将这个数代入方程的左右两边，分别计算出左右两边的值。 如果左边的值等于右边的值，那么这个数就是方程的解。 如果左边的值不等于右边的值，那么这个数就不是方程的解。 例如： 检验x = 5是不是方程 2x - 1 = 9的解。 解：把x = 5代入方程左边：2×5 - 1 = 10 - 1 = 9。 方程右边 = 9。 因为左边 = 右边，所以x = 5是方程2x - 1 = 9的解。 知识点三：根据实际问题列方程 列方程解决实际问题是方程的重要应用。其关键在于找到问题中的等量关系。 列方程的一般步骤（初步）： 审题： 理解题意，找出题目中的已知量和未知量。 设未知数： 用字母（如x）表示题目中的未知量。 找等量关系： 分析题目中的数量关系，找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。这是列方程的关键。 列方程： 根据找出的等量关系，列出含有未知数的等式（即方程）。 例如： 问题：某校七年级共有学生216人，其中男生人数比女生人数多12人，求女生有多少人？ 分析： 已知量：七年级总人数216人，男生比女生多12人。 未知量：女生人数。 设未知数：设女生有x人。 则男生人数为（x + 12）人。 等量关系：男生人数 + 女生人数 = 七年级总人数。 列方程：x + (x + 12) = 216。 注意： 列方程时，要注意单位统一，并且方程两边所表示的意义要相同。 知识点总结 方程的概念： 含有未知数的等式叫做方程。（两个条件：①含有未知数；②是等式） 方程的解： 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。 ... ...