第一章 6 拓 视 野　三角函数中有关ω的求解（课件 学案）高中数学 北师大版（2019）必修 第二册

(课件网) 拓 视 野　三角函数中有关ω的求解 类型一 三角函数的单调性与ω的关系 【例1】　已知函数f（x）＝ sin （ω＞0）在区间 上单调递增，则ω的取值范围为（　　） 解析：　法一　由题意得 则又ω＞0，所以k∈Z， 所以k＝0，则0＜ω≤ ，故选B. 法二　取ω＝1，则f（x）＝ sin ，令 ＋2kπ≤x＋ ≤ ＋ 2kπ，k∈Z，得 ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，函数f （x）在区间 上单调递减，与函数f（x）在区间 上 单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项可知选B. 方法总结 　　根据正弦函数的单调区间，确定函数f（x）的单调区间，根据函 数f（x）＝ sin （ω＞0）在区间 上单调递增，建 立不等式，即可求ω的取值范围. 类型二 三角函数的对称性与ω的关系 【例2】　已知函数f（x）＝ cos （ω＞0）的一条对称轴为 直线x＝ ，一个对称中心为点 ，则ω有（　　） A. 最小值2 B. 最大值2 C. 最小值1 D. 最大值1 解析：　∵三角函数的对称中心到对称轴的最短距离是 ，两条对 称轴间的最短距离是 ，∴对称中心 到对称轴x＝ 间的距离 用周期可表示为 － ≥ ，又∵T＝ ，∴ ≤ ，∴ω≥2，∴ω有 最小值2，故选A. 　　三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间 隔”为 ，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为 ，这就 说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究 “ω”的取值. 方法总结 类型三 三角函数的最值与ω的关系 【例3】　已知函数f（x）＝2 sin ωx在区间 上的最小值为 －2，则ω的取值范围是 . （－∞，－2]∪ 　 解析：显然ω≠0.若ω＞0，当x∈ 时，－ ω≤ωx≤ ω，因 为函数f（x）＝2 sin ωx在区间 上的最小值为－2，所以－ ω≤－ ，解得ω≥ ；若ω＜0，当x∈ 时， ω≤ωx≤－ ω，因为函数f（x）＝2 sin ωx在区间 上的最小值为－2.所 以 ω≤－ ，解得ω≤－2.综上所述，符合条件的实数ω的取值范围 是（－∞，－2]∪ . 方法总结 　　利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的 不等式，进而求出ω的值或取值范围. 1. 为了使函数y＝ sin ωx（ω＞0）在区间[0，1]上至少有50个最大 值，则ω的最小值为（　　） A. 98π D. 100π 解析：　由题意，至少有50个最大值即至少需要49 个周期，所 以 T＝ · ≤1，所以ω≥ π. 【迁移应用】 2. 已知函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）在（0， ）上单调递 增，则ω的取值范围为（　　） A. （0，2] B. （0，2） C. （0，3] D. （0，3） 解析：　当x∈（0， ）时，ωx＋ ∈（ ， ＋ ），因为函 数f（x）＝ sin （ωx＋ ）在（0， ）上单调递增，所以 ＋ ≤ ，解得0＜ω≤2，故ω的取值范围为（0，2]，故选A. 知能演练·扣课标 课后巩固 核心素养落地 1. 要得到函数y＝3 sin 的图象，只需将函数y＝3 sin 2x的图 象（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析：　将y＝3 sin 2x向左移动 个单位长度得y＝3 sin 2 ＝3 sin ，∴只需将函数y＝3 sin 2x的图象向左平移 个 单位长度，即可得y＝3 sin 的图象.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2. 函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，｜φ｜＜π，ω＞0）的部分图象 如图所示，则（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析：　根据函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，｜φ｜＜π，ω＞ 0）的部分图象，可得A＝2， · ＝ － ，∴ω＝2，∴y＝2 sin （2x＋φ）.又函数图象过点 ，∴2 sin ＝2， ∴2· ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－ ＋2kπ，k∈Z. ∵｜φ｜ ＜π，∴φ＝－ ，故函数的解析式为y＝2 sin .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. 函数f（x） ... ...