12.4.3 角平分线 课件(共25张PPT) 华东师大版（2024）数学八年级上

(课件网) 12.4.3　角平分线 第12章　12.4　逆命题和逆定理 1.掌握角平分线的性质定理及逆定理.(重点) 2.运用角平分线性质定理及逆定理进行证明和计算.(难点) 学习目标 情境引入 如图，某地政府要在S区建立一个物流园M，使它到高速、高铁的距离相等，这个物流园应建于何处？ 一、角平分线的性质定理 问题1　角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 提示　角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴. 问题2　如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E，将∠AOB沿OC对折，你发现了什么？ 提示　PD，PE完全重合，即PD＝PE. 问题3　试着证明问题2的结论. 提示　已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E. 求证：PD＝PE. 证明：∵OC平分∠AOB，P是OC上一点，∴∠DOP＝∠BOP， ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠ODP＝∠OEP＝90°. 在△OPD和△OPE中， ∴△OPD≌OPE(AAS)， ∴PD＝PE. 知识梳理 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离 . 注意点：(1)角平分线性质定理是已知角平分线和两条垂线段，得到这两条垂线段相等； (2)性质中的距离是指点到两边的垂线段的长度； (3)角平分线不是角的对称轴，角平分线所在的直线才是角的对称轴. 相等 如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ 例1 解　 DE＝DC.理由如下： 在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴CD⊥BC， ∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BA， ∴DE＝DC. 反思感悟 有角平分线这一条件，就应想到角平分线的性质定理，得线段相等.而角平分线的性质定理也常与全等三角形一起使用. (课本P108练习第1题)如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA，OB的距离相等. 跟踪训练1 解　如图，点P即为所作. 二、角平分线的判定定理 问题4　角平分线上的点到角两边的距离相等描述了角平分线的性质，那么它的逆命题是什么？ 提示　如表. 条件 结论 性质定理 一个点在角的平分线上 这个点到这个角两边的距离相等 逆命题 一个点到角两边的距离相等 这个点在这个角的平分线上 问题5　问题4中的逆命题是真命题吗？如果是，请证明. 提示　是真命题. 已知：如图.QD⊥OA，QE⊥OB，垂足分别为点D和点E，QD＝QE. 求证：点Q在∠AOB的平分线上. 证明：如图，过点O，Q作射线OQ. ∵QD⊥OA，QE⊥OB，∴∠QDO＝∠QEO＝90°. 在Rt△QDO和Rt△QEO中， ∵OQ＝OQ，QD＝QE，∴Rt△QDO≌Rt△QEO(HL). ∴∠DOQ＝∠EOQ(全等三角形的对应角相等). ∴点Q在∠AOB的平分线上. 知识梳理 角的内部到角 距离 的点在角的平分线上. 两边 相等 如图，BP是∠ABC内部的一条射线，点D在BP上，连结AD，CD，AD＝CD，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足，且PM＝PN，求证：BP平分∠ABC. 例2 证明　∵PM⊥AD，PN⊥CD，PM＝PN， ∴DP为∠ADC的平分线， ∴∠ADP＝∠CDP， ∴∠ADB＝∠CDB， 在△ABD和△CBD中， ∴△ABD≌△CBD(SAS)， ∴∠ABP＝∠CBP， ∴BP平分∠ABC. (1)(课本P107练习第2题)如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上. 跟踪训练2 证明　如图，作FM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，FG⊥AC于点G， ∵BF平分∠CBD，FM⊥AB，FN⊥BC， ∴FM＝FN， 同理，FG＝FN， ∴FM＝FG， 又∵FM⊥AB，FG⊥AC， ∴点F在∠DAE的平分线上. (2)证明：三角形的三条角平分线交于一点.(写出已知和求证) 解　已知：如图，在三角形ABC中，直线AD，BE，CF分别是∠BAC，∠ABC，∠BCA的平分线. 求证：AD，BE，CF交于一点O. 证明：过点O作OI⊥AB，OH⊥AC，OG⊥BC， ∵AO平分∠BAC，OI⊥AB，OH⊥AC，∴OI＝OH， ∵BO平分∠ABC，OI ... ...