21.1一元二次方程 【题型1】一元二次方程的辨别 4 【题型2】利用一元二次方程的一般形式确定各项系数 5 【题型3】利用一元二次方程解决代数问题 7 【题型4】利用一元二次方程解决几何问题 9 【题型5】直接利用一元二次方程的解 11 【题型6】求未知字母或代数式的值 13 【知识点1】一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 1.（2025春 南山区校级期末）下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ） A．ax2+bx+c=0B．x2+1-x2=0C．x2+=2D．x2-x-2=0 【答案】D 【分析】一元二次方程必须满足下面几个条件：（1）整式方程；（2）只有一个未知数，且未知数的最高次是2；（3）二次项系数不为0． 【解答】解：A、当a=0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意． B、由已知方程得到1=0，该等式不成立，且不含有未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． C、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意． D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意． 故选：D． 2.（2025春 芝罘区期末）下列方程是一元二次方程的是（ ） A．x2+1=0B．C．x2+y=3D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意； B、不是整式方程，故此选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、是一元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 【知识点2】一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 1.（2025春 南岗区校级月考）对于一元二次方程x=-2x2+1，化为一般式后二次项系数为2，则一次项系数为（ ） A．1B．2C．-1D．-2 【答案】A 【分析】先把方程化成一元二次方程的一般形式，并变形后二次项系数为2，再找出一次项系数即可． 【解答】解：x=-2x2+1， 2x2+x-1=0， 即对于一元二次方程x=-2x2+1，化为一般式后二次项系数为2，则一次项系数为1． 故选：A． 【知识点3】一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 1.（2025春 张店区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2012-a-b的值是（ ） A．2020B．2018C．2017D．2016 【答案】C 【分析】根据方程解的定义，求出a+b的值，即可解决问题． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1， ∴a+b+5=0， ... ...
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