3.4平面图形 学习目标 理解多边形的概念，能够区分不同类型的多边形。 掌握多边形截去一个角后边数的变化规律。 学会计算多边形的周长。 掌握多边形对角线的定义，并能运用公式计算多边形对角线的条数。 理解多边形对角线将多边形分成三角形个数的规律，并能进行相关计算。 知识点讲解 一、多边形的概念与分类 多边形的定义：在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 组成多边形的各条线段叫做多边形的边。 每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点。 多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角（简称多边形的角）。 多边形的分类： 按边数分类：三角形（3条边）、四边形（4条边）、五边形（5条边）……，n边形（n条边，n为大于或等于3的整数）。 按角分类： 凸多边形：多边形的每个内角都小于180°，且整个多边形都在任何一条边所在直线的同一侧。初中阶段我们主要研究凸多边形。 凹多边形：至少有一个内角大于180°的多边形。 按边的相等关系分类： 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。例如：正三角形（等边三角形）、正方形等。 二、多边形截角后的边数问题 截角操作：用一条直线去截多边形的一个角。 边数变化规律：一个n边形截去一个角后，所得多边形的边数可能是n-1，n，或n+1。 若截线经过多边形的两个顶点，则新多边形的边数比原多边形少1（n-1）。 若截线经过多边形的一个顶点和一条边，则新多边形的边数与原多边形相同（n）。 若截线经过多边形的两条边，则新多边形的边数比原多边形多1（n+1）。 三、多边形的周长 定义：多边形的周长是指多边形所有边的长度之和。 计算公式：对于一个多边形，如果它的各边长度分别为，那么它的周长( C )为： 四、多边形对角线的条数问题 对角线的定义：连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 n边形从一个顶点出发的对角线的条数：一个n边形（n ≥ 3）从一个顶点出发可以引( (n - 3) )条对角线。（因为该顶点本身及与其相邻的两个顶点不能连接对角线） n边形对角线的总条数：对于一个n边形（n ≥ 3），其对角线的总条数( D )的计算公式为： （推导思路：每个顶点可引( (n-3) )条对角线，n个顶点共引( n(n-3) )条，但每条对角线都重复计算了一次，所以除以2） 五、对角线分成的三角形个数问题 规律：一个n边形（n ≥ 3）从一个顶点出发引对角线，可以把这个n边形分成( (n - 2) )个三角形。 例题解析 例题1： 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）由四条线段组成的图形叫做四边形。 （2）各边都相等的多边形是正多边形。 解析： （1）错误。 理由：由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做四边形。题中未强调“不在同一直线上”、“首尾顺次相接”和“封闭图形”。 （2）错误。 理由：正多边形不仅要求各边都相等，还要求各个角都相等。仅有各边相等的多边形不一定是正多边形，例如菱形各边相等，但内角不一定都相等，所以不是正多边形。 例题2： 一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是2880°，求原多边形的边数。 解析： 设新多边形的边数为( m )。 根据多边形内角和公式： 解方程： 因为一个多边形截去一个角后，边数可能增加1、不变或减少1，所以原多边形的边数可能为： ( m - 1 = 17 )，或( m = 18 )，或( m + 1 = 19 )。 答：原多边形的边数可能是17，18或19。 例题3： 已知一个多边形的对角线总条数为35条，求这个多边形的边数。 解析： 设这个多边形的边数为( n )。 根据多边形对角线总条数公式： 方程两边同时乘以2：( n(n - 3) = 70 ) 展开： 因式分解：( (n - 10)(n + 7) = 0 ) 解得：，（边数不能为负数，舍去） 答：这个多边形的边数是10。 例题4： 一 ... ...
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