第三章 圆锥曲线的方程 3.1.1 椭圆及其标准方程(1) 一、教学目标与教学重难点 课程目标 教学重难点 掌握椭圆的定义及标准方程. 理解椭圆标准方程的推导过程，体会数形结合的思想. 会用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程. 重点：椭圆的几何特征，椭圆的定义及椭圆的标准方程． 难点：椭圆标准方程的推导过程及应用. 二、教学过程 教学过程 设计意图 （一）新课导入 【欣赏一组图片】椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用. 那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？. 【问题1】与一定点的距离等于定长的点的集合是什么？ 【问题2】与两定点的距离之和等于定长的点的集合又是什么图形呢？ 师生活动：教师进行讲解，引出小实验. 【小实验】椭圆的产生： [1]取一条细绳， [2]把它的两端固定在板上的两点F1、F2， [3]用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形. 思考：作图过程中哪些是变化的，哪些又是不变的？ 师生活动：教师进行讲解并进行动画演示. 概念建构 【问题3】你能类比圆的定义给出椭圆的定义吗？椭圆定义中我们应该特别关注那些要素 椭圆的定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 【问题4】若将距离之和（|MF1|+| MF2|）记为2a，为什么2a>|F1F2|？ 当2a=|F1F2|时，其轨迹为 ； 当2a<|F1F2|时，其轨迹为 ． 师生活动：尝试用精确的数学语言给出椭圆的定义．在此基础上，教师关注学生对定义中相关用语及符号表示的使用是否准确． （三）椭圆标准方程的推导 【问题5】在了解椭圆的概念后，我们下一步应该研究什么？利用坐标法求曲线方程的步骤是什么？ 师生活动：明确建立椭圆的方程的大致步骤： (1)建系;(2)设点;(3)动点几何关系;(4)坐标化;(5)化简. 【问题6】如何选取坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ 【问题7】如何用坐标表示椭圆上点的所满足的条件？ 根据椭圆定义得到 【问题8】我们化简得到方程 * 从简化、美化的角度出发希望继续优化方程，如果令，*式变形为；观察这一方程的特点，如何对这一等式进一步变形？ 同除得到． 焦点在x轴上的椭圆：，两焦点分别是，，这里. 【问题9】椭圆方程中的b有什么几何意义？在利用绳子绘制椭圆的过程中，如何使你画出的椭圆变得“瘪”一些？ 为什么要用2a，2c而不是a，c表示椭圆的定长与焦距？ 【问题10】如何得到焦点在y轴上的椭圆方程？ 焦点在y轴上的椭圆：，两焦点分别是F1(0,-c)，F2(0,c)，这里. 【问题11】椭圆的标准方程有何特点？如何区分x轴型和y轴型椭圆？ （四）典例解析 【例1】 判定下列椭圆的焦点在哪条轴上，并写出焦点坐标及焦距. 【例2】写出适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）已知两个焦点的坐标分别是(-2,0)、(2,0)，且椭圆经过一点. 解法一：定义法； 解法二：待定系数法. （2）已知两个焦点的坐标分别是(-3,0)、(3,0)，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10. 变式：已知椭圆的焦距为6，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10. 经过两点，. （五）课堂小结 当堂达标 如果椭圆上一点P与焦点F1的距离等于6，那么点P与另一焦点F2的距离是 . 求适合下列条件的椭圆的标准方程： a=4，b=1； a=4， 焦点分别为 ； a+b=10，c=. 经过椭圆的右焦点F2的直线，交椭圆与A,B两点，F1是椭圆的左焦点，求△F1AB的周长. 已知椭圆的方程为：, 则 a=_____，b=_____，c=_____， 焦点坐标为：_____， 焦距等于_____; 若曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_____， ... ...
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