第三章 5　数学探究活动（一）正方体截面探究（课件 学案）高中数学 北师大版（2019）选择性必修 第一册

§5　数学探究活动（一）：正方体截面探究 新课程标准解读 核心素养 1.了解正方体的截面的形状，能熟练运用正方体截面的有关知识解决相应的问题 数学抽象 2.经历切截几何体的活动过程，体会几何体在切截过程中的变化，在面与体的转换中积累数学活动经验 数学建模 一、背景介绍 　为了使课改工作开展的更有成效，很重要的方面，就是要重构课堂，在现代课堂的教学中，我们应该清楚地认识到：1.课堂不是教师表演的舞台，而是师生之间交流、互动的舞台；2.课堂不是对学生进行训练的场所，而是引导学生发展的场所；3.课堂不只是传授知识的场所，而更应该是探究知识的基地；4.课堂不是教师教学行为模式化运作的天堂，而是教师教育智慧充分展现的竞技场. 在必修第二册第六章立体几何初步中“如何求作平面与平面的交线”这部分内容的教学时，为了提高学生学习立体几何的兴趣，帮助一些学生克服对立体几何的危惧心理，我们适时补充了“几何体的截面”这个内容. 考虑到要通过会“求作平面与平面的交线”从而学会“过已知点求作正方体的截面”对学生而言还是有一定难度的，因此，能否通过本节课的学习让学生体会到数学知识就在我们身边、感悟到数学之美，激发出学生学习数学的兴趣和强烈的求知欲望，初步培养学生动手实验、观察比较、归纳总结的能力和探究意识、创新意识，就成为这节课首要解决的问题.为了更好地突破以上难点，落实新课标的精神，本节课运用“学生为主体，教师为引导，问题为核心，培养动手操作、探究问题的能力为目的”的探究性学习方式，逐步培养学生的创造性思维；在教学策略上通过实物操作与电脑演示相结合的方法帮助学生了解正方体截面的各种可能的形状以及是否有特殊的形状. 二、实例分析 　正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体.如果我们拿一个平面去截一个正方体.那么会得到什么形状的截面图呢？ 探究1：截面多边形的边数最多有几条？ 小结：因为正方体只有六个面，所以它与平面最多有六条交线，即所截得截面图最多有六条边.所以截面图可能是三角形，四边形，五边形，六边形. 探究2：截面图为三角形时，有几种情况？ （1）是否可以截出等腰三角形？ （2）是否可以截出等边三角形？ （3）是否可以截出直角三角形？ 小结：用一平面去截正方体能截出的三角形： （1）等腰三角形；（2）等边三角形；（3）锐角三角形；（为什么？）（4）不能截出直角三角形.（为什么？） 首先，用一个平面截一个正方体，要得到三角形，必然是要和三个两两相邻的面相交才可以（如图所示）.下面只要说明这个截面△PMN不是直角三角形或钝角三角形就可以了. 图中有三个直角三角形，△BMN、△PMB和△PBN.如果MN是最长边，那么只需要说明PM2＋PN2＞MN2就可以了. 在Rt△BMN中，根据勾股定理可得BM2＋BN2＝MN2； 同理，BM2＋BP2＝MP2，BN2＋BP2＝NP2.所以MP2＋NP2－MN2＝2BP2＞0， 因此，PM2＋PN2＞MN2.由余弦定理可得，cos∠MPN＝＞0，所以∠MPN为锐角，又∠MPN是△MPN的最大角，所以△PMN是锐角三角形. 探究3：如果截面为四边形，那么可以截出哪几类呢？ （1）是否可以截出长方形？ （2）是否可以截出正方形？ （3）是否可以截出梯形？ 小结：用一平面去截正方体能截出的四边形： （1）长方形；（2）正方形；（3）平行四边形；（4）菱形；（5）梯形；（6）等腰与不等腰梯形. 探究4：截面可能是正多边形吗？可能有几种？ 小结：截面是正多边形有可能.可能有正三角形，正方形和正六边形.不可能是正五边形.（为什么？） 探究5：如果截面是三角形，其面积最大是多少？四边形呢？ 探究6：正方体中能用几个平面截出正四面体、正八面体吗？ 小结：以正方体的面对角线为棱长的三棱锥即为正四面体，以正方体的六个面的中心的连 ... ...