4.5.1　函数的零点与方程的解 导学案（含答案） 高一年级数学人教A版必修第一册

4.5.1　函数的零点与方程的解 学习目标　1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数. 知识归纳 知识点一　函数零点 1.概念:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系: (1)零点不是点,是函数图象与x轴交点的横坐标. (2)求零点可转化为求对应方程的解. (3)并不是所有的函数都有零点,如函数y=2x,y=|x|+1都没有零点. 知识点二　函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解. 基础自测 1.(人教A版必修第一册P144练习T1改编)下列图象表示的函数中恰有一个零点的是 (　　) [A] [B] [C] [D] 【答案】 B 【解析】 根据零点的定义,零点是函数图象与x轴的交点的横坐标.选项A中函数图象与x轴没有交点,即函数没有零点;选项B中函数图象与x轴只有一个交点,即函数只有一个零点;选项C,D中函数图象与x轴有两个交点,即函数有两个零点.故选B. 2.函数f(x)=x2-4x+3的零点为(　　) [A](1,0) [B](1,3) [C]1和3 [D](1,0)和(3,0) 【答案】 C 【解析】 令x2-4x+3=0,解得x=1或x=3,所以函数的零点为1和3.故选C. 3.函数f(x)=的零点个数是(　　) [A]0 [B]1 [C]2 [D]3 【答案】 C 【解析】 当x≤0时,令f(x)=x2-2=0,解得x=-;当x>0时,令f(x)=2x-6=0,解得x=3. 所以函数f(x)有2个零点.故选C. 4.函数f(x)=x3+x2-5的一个零点所在区间为(　　) [A](0,1) [B](1,2) [C](2,3) [D](3,4) 【答案】 B 【解析】 因为y=x3与y=x2-5均在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=x3+x2-5在(0,+∞)上单调递增, 又f(1)=-3,f(2)=7,所以f(1)f(2)<0,所以f(x)在(1,2)上存在一个零点.故选B. 题型一　求函数的零点 [例1] 判断下列函数是否存在零点,如果存在,求出函数的零点;如果不存在,请说明理由. (1)f(x)=x2+7x+6; (2)f(x)=2x-1-3; (3)f(x)=(x2+x+1)(2x+1); (4)f(x)= 【解】 (1)令f(x)=x2+7x+6=0,得x=-1或x=-6,所以函数f(x)存在零点,零点是-1和-6. (2)令f(x)=2x-1-3=0,得x=log26,所以函数f(x)存在零点,零点是log26. (3)因为x2+x+1=(x+)2+≥>0,2x+1>1>0,所以f(x)=(x2+x+1)(2x+1)>0, 所以函数f(x)不存在零点. (4)当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3(x=1舍去);当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2. 所以函数f(x)=存在零点,零点为-3和e2. 函数零点的两种求法 (1)代数法:求方程f(x)=0的实数根,若存在实数根,则函数存在零点,否则函数不存在零点. (2)几何法:与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. [变式训练] 若一次函数f(x)=kx+b(k≠0)有一个零点-2,则函数g(x)=bx2-kx的图象可能是(　　) [A] [B] [C] [D] 【答案】 B 【解析】 因为一次函数f(x)=kx+b(k≠0)有一个零点-2,所以-2k+b=0,即b=2k,对于g(x)=bx2-kx,令g(x)=0, 则bx2-kx=0,则x(bx-k)=0,即x(2kx-k)=0,解得x=0或x=0.5,所以g(x)有两个零点,分别为0和0.5,符合题意的只有B选项.故选B. 题型二　函数零点所在区间问题 [例2] (多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表: x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) -4 -2 1 4 2 -1 -3 在下列区间中,函数f(x)必有零点的区间为(　　) [A](1,2) [B](2,3) [C](5,6) [D](5,7) 【答案】 BCD 【解析】 由所给的函数值表知,f(1)f(2)>0,f(2)f(3)<0,f(5)f(6)<0,f(5)f(7)<0, 由零点存在定理可知,f(x)在区间(2,3),(5,6),(5,7)内分别至少有一个零点.故选BCD. 判断函数y=f(x)在所给区间(a,b)上 是否有零点的常用方法 (1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看 ... ...